导数在研究函数中的应用知识梳理 一 函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。

3、利用导数判断函数单调性的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 二 函数极大值、极小值1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式 对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值。

2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式 对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值。

3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

4、判别f (c )是极大、极小值的方法:若满足，且在c 的两侧的导数异号，则c 是的极值点，是极值，并且如果在c 两侧满足“左正右负”，则c 是的极大值点，是极大值；如果在c 两侧满足“左负右正”，则c 是的极小值点，是极小值5、求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求f(x)的驻点，即求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间[a ，b]上连续的函数f 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：)(x f y ='f )(x 0>)(x f 'f 0)(<x )(x f 'f 0)(=x )(x f )(x f y ='f )(x 0>)(x f 'f 0)(<x )(x f '()0f x ≥'()0f x ≤c x =),(v u )()(x f c f ≥),(v u x ∈c x =)(c f c )(c f c x =),(v u )()(x f c f ≤),(v u x ∈c x =)(c f c )(c f 0)(='c f c x =0x 0)(='c f )(x f )(x f )(c f )(x f ')(x f )(c f )(x f ')(x f )(0x f )(x ],[b a )(x f（1）求函数ƒ在(a ，b)内的极值；（2）求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；（3）将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

四三次函数有极值导函数的判别式>03.3.1 利用导数研究函数的单调性 典例剖析:题型一 求函数的单调区间 例1已知函数y =x +，试讨论出此函数的单调区间. 分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断解答：y ′=(x +)′=1－= 令＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +的单调减区间是(－1，0)和(0，1)点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f (x )的导数f ′(x ).，然后解不等式f ′(x )＞0，得递增区间，解不等式f ′(x )＜0，得递减区间. 题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围 例2. 若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．解答：函数求导得，令得或，因为函数在区间内为减函数，所以当时， 又因为在函数区间上为增函数，所以当时，， ∴， ∴．即实数的取值范围[5，7])(x )(x )(x )0(23≠+++=a d cx bx ax y ⇔c bx ax x f ++='23)(2ac b 1242-=∆x1x121x 222)1)(1(1x x x x x -+=-2)1)(1(xx x -+x12)1)(1(xx x -+x13211()(1)132f x x ax a x =-+-+(1,4)(6,)+∞a '()0f x ≥'()0f x ≤2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---()0f x '=1x =1x a =-(1,4)(1,4)x ∈()0f x '≤(6,)+∞(6,)x ∈+∞()0f x '≥416a ≤-≤57a ≤≤a点评：已知单调区间求参数a 的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。

备选题例3：已知函数f （x ）=2ax －,x ∈（0,1］，若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围；解: 由已知可得f ′（x ）=2a +,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,即a ＞－, x ∈（0,1］.∴a ＞－1.当a =－1时，f ′（x ）=－2+对x ∈（0,1）也有f ′（x ）＞0，满足f （x ）在（0,1］上为增函数，∴a ≥－1.评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单. 点击双基1.函数y=x+cosx 在（-，+）内是（ ）A 增函数B 减函数C 有增有减D 不能确定 解：因为=1-sinx 0恒成立，故选A2.．函数的单调减区间是 （ D ）A ．（ B. C ．， D.以上都不对。

解：（x ）=3+2>0恒成立，不存在单调减区间，故选D3.函数 (,则 ( ) A ． B.C ． D.大小关系不能确定解：（x ）=-=<0时x<1,所以(为减区间，又，故选C 4.函数的单调增区间是解：（x ）=1+2cosx>0,所以cosx>-; 单调增区间为(0,) 5.如果函数y=+lnx-ax 在定义域为增函数，则a 的取值范围是解：定义域为（0，，=x+-a 0,即a x+在定义域（0，上恒成立，又x+最小值为2,所以a 23.3.2函数的极大值和极小值 第一课时 典例剖析21x 32x 31x32x∞∞'y ≥a x x x f -+=2)(3)2,-∞-),2(∞-)0,32(-'f 2x x exx f -=)()1<<b a )()(b f a f =)()(b f a f <)()(b f a f >)(),(b f a f 'f xx x exe e 2-x e x 1-)1,∞-1<<b a ()52sin ((0,))f x x x x π=++∈'f 2132π212x )∞+'y x 1≥≤x 1)∞+x1≤题型一 函数极值的求法例1 已知在与时，都取得极值． (1) 求的值； (2)若，求的单调区间和极值； 分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。

解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0． 由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′(x )＝0的解．－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． （2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1． ∴f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋1．∴f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）．当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12． 评析：列表求单调区间和极值不容易出错。

题型二例2 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，（1）求的值；（2）求函数的递减区间．分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出的值。

解：（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，=3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，=3x 2+2ax 当时，，当时， 当x =时，函数有极小值－4 32()f x x ax bx c =+++1x =23x =-,a b 3(1)2f -=()f x0x 0)(0=x f 32()f x x ax bx c =+++0y =4-,,a b c 0=x ,,a b c 'y 'y a x 32-<0'y <a x 32->0'y >a 32-∴ ，得a =－3 （2）=3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）评析：求出的值后，利用导数就可求出单调区间。

备选题例3：已知函数+lnx, 求的极值. 解;因为f (x)=-, 令f (x)=0，则x= 注意函数定义域为（0，），所以驻点是x=,当x (0, )时f (x)<0, 为减函数，当x (，+)时f (x)>0, 为增函数，所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。

评析：注意函数的定义域 点击双基1、函数y=1+3x-x 有 （ ）A ．极大值1，极小值-1， B 。

极小值-2，极大值2 C ．极大值3 ，极小值 –2， D 。

极小值-1，极大值3解：=-3+3,令=0得x= -1或x=1，易得x= -1是极小值点，x=1.是极大值点，故选D ， 2、函数y=3+mx+x 有极值的充要条件是 ( )A m>0B m<0C m 0 D, m 0解：=3+m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x 才有极值。