∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠ DCF=90°．在 Rt△ FCD 中，∵ G 为 DF 的中点，∴ CG= 1 FD， 2
同理．在 Rt△ DEF 中，EG= 1 FD，∴ CG=EG． 2
（2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG． 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点． 在△ DAG 与△ DCG 中，∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG，∴ △ DAG≌ △ DCG（SAS）， ∴ AG=CG； 在△ DMG 与△ FNG 中，∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG，∴ △ DMG≌ △ FNG （ASA），∴ MG=NG． ∵ ∠ EAM=∠ AEN=∠ AMN=90°，∴ 四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN．在 △ AMG 与△ ENG 中，∵ AM=EN，∠ AMG=∠ ENG，MG=NG，∴ △ AMG≌ △ ENG（SAS）， ∴ AG=EG，∴ EG=CG． 证法二：延长 CG 至 M，使 MG=CG，连接 MF，ME，EC．在△ DCG 与△ FMG 中， ∵ FG=DG，∠ MGF=∠ CGD，MG=CG，∴ △ DCG≌ △ FMG，∴ MF=CD，∠ FMG=∠ DCG， ∴ MF∥ CD∥ AB，∴ EF⊥MF． 在 Rt△ MFE 与 Rt△ CBE 中，∵ MF=CB，∠ MFE=∠ EBC=90°，EF=BE，∴ △ MFE≌ △ CBE ∴ ∠ MEF=∠ CEB，∴ ∠ MEC=∠ MEF+∠ FEC=∠ CEB+∠ CEF=90°，∴ △ MEC 为直角三角形．
∴ △ CQP∽ △ CBA， ∴
∴
解得：QP= x，
∴ PM=3﹣ x， 由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3）， P 点坐标为（x，3﹣ x）． （2）设△ NPC 的面积为 S，在△ NPC 中，NC=4﹣x， NC 边上的高为 ，其中，0≤x≤4．
∴ S= （4﹣x）× x= （﹣x2+4x）
m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上
时，△ D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵ A（5，0），B（0，3）， ∴ OA=5，OB=3， ∵ 四边形 AOBC 是矩形， ∴ AC=OB=3，OA=BC=5，∠ OBC=∠ C=90°， ∵ 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到， ∴ AD=AO=5，
4．（问题情境）在△ ABC 中，AB＝AC，点 P 为 BC 所在直线上的任一点，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为 D、E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F．当 P 在 BC 边上时（如 图 1），求证：PD+PE＝CF． 证明思路是：如图 2，连接 AP，由△ ABP 与△ ACP 面积之和等于△ ABC 的面积可以证得： PD+PE＝CF．（不要证明） （变式探究）（1）当点 P 在 CB 延长线上时，其余条件不变（如图 3），试探索 PD、PE、 CF 之间的数量关系并说明理由； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （结论运用）（2）如图 4，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C′处，点 P 为折痕 EF 上的任一点，过点 P 作 PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为 G、H，若 AD ＝16，CF＝6，求 PG+PH 的值．
∴
17
m=
，
5
∴ BH= 17 ， 5
∴ H（ 17 ，3）． 5
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，最小值= 1 •DE•DK= 1 ×3×
2
2
（5- 34 ）= 30 3 34 ，

2
4
当点 D 在 BA 的延长线上时，△ D′E′K 的面积最大，最大面积= 1 ×D′E′×KD′= 1 ×3×
2
2
（5+ 34 ）= 30 3 34 ．
2
4
综上所述， 30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决
问题．
3．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）请问 EG 与 CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）将图①中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△ BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中 的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）
（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线 l1：y＝- 4 x+8 与直线 l2：y＝﹣2x+8 相交于点 3
A，直线 l1、l2 与 x 轴分别交于点 B、点 C．点 P 是直线 l2 上一个动点，若点 P 到直线 l1 的 距离为 2．求点 P 的坐标．
【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10） 【解析】 【变式探究】 连接 AP，同理利用△ ABP 与△ ACP 面积之差等于△ ABC 的面积可以证得； 【结论运用】 过点 E 作 EQ⊥BC，垂足为 Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可； 【迁移拓展】 分两种情况，利用结论，求得点 P 到 x 轴的距离，再利用待定系数法可求出 P 的坐标． 【详解】 变式探究:连接 AP，如图 3：
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A，B 的坐标分别为（4，0）， （4，3），动点 M，N 分别从 O，B 同时出发．以每秒 1 个单位的速度运动．其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 M 作 MP⊥OA，交 AC 于 P，连接 NP，已知动点运动了 x 秒． （1）P 点的坐标为多少（用含 x 的代数式表示）； （2）试求△ NPC 面积 S 的表达式，并求出面积 S 的最大值及相应的 x 值； （3）当 x 为何值时，△ NPC 是一个等腰三角形？简要说明理由．
在 Rt△ ADC 中，CD= AD2 AC2 =4，
∴ BD=BC-CD=1， ∴ D（1，3）． （2）①如图②中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到∠ ADE=90°，
∵ 点 D 在线段 BE 上，
∴ ∠ ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又 AB=AB，∠ AOB=90°，
∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB（HL）．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG． （2）结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点；再证 明△ DAG≌ △ DCG，得出 AG=CG；再证出△ DMG≌ △ FNG，得到 MG=NG；再证明 △ AMG≌ △ ENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG． （3）结论依然成立． 【详解】 （1）CG=EG．理由如下：
∴ x= ．
综上所述，x= ，或 x= ，或 x= ．
考点：二次函数综合题．
2．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0，0），点 A（5，0），点 B（0， 3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别 为 D，E，F． （1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H． ①求证△ ADB≌ △ AOB； ②求点 H 的坐标． （3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△ KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结 果即可）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（ 17 ，3）；（3） 5
30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
4
4
【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD 中求出 CD 即可解决问题；
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2，构建方程求出
∵ MG=CG，∴ EG= 1 MC，∴ EG=CG． 2
（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下： 过 F 作 CD 的平行线并延长 CG 交于 M 点，连接 EM、EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N． 由于 G 为 FD 中点，易证△ CDG≌ △ MFG，得到 CD=FM，又因为 BE=EF，易证
②如图②中，由△ ADB≌ △ AOB，得到∠ BAD=∠ BAO，
又在矩形 AOBC 中，OA∥ BC，
∴ ∠ CBA=∠ OAB，
∴ ∠ BAD=∠ CBA，
∴ BH=AH，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，
在 Rt△ AHC 中，∵ AH2=HC2+AC2，
∴ m2=32+（5-m）2，
=﹣ （x﹣2）2+ ．
∴ S 的最大值为 ，此时 x=2． （3）延长 MP 交 CB 于 Q，则有 PQ⊥BC． ①若 NP=CP， ∵ PQ⊥BC， ∴ NQ=CQ=x． ∴ 3x=4， ∴ x= ．