三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。

它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。

另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。

三角形中有三条边,三个角,三个顶点。

三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点:(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。

(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ＡＢC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

在以后我们可以给出具体证明。

今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。

三角形的按边分类三角形的三条边，有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。

所以三角形按的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例。

判定三条边能否构成三角形的依据△AＢC的三边长分别是a、ｂ、ｃ,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。

可知:△③a+b＞c，①a+c>b,②b+c＞a△定理:三角形任意两边的和大于第三边。

△由②、③得b―a<c,且b―ａ＞―c△故|a―b|＜c,同理可得|b―c｜<a,|a―ｃ|＜b。

从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。

上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。

另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。

如：三条线段的长分别是５、４、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。

判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说，如一边a,只要满足｜ｂ-ｃ|＜ａ＜b＋c,则可构成三角形。

这是因为|b-ｃ|＜ａ,即b－c＜ａ，且b-ｃ＞－a.也就是ａ+c>b且ａ＋b＞ｃ，再加上b+c＞a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。

反过来，只要a、b、ｃ三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|ｂ-c|＜a<b＋c。

在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c＞a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。

同时如果已知线段ａ最小,只要满足|b－c|＜a,就能判定三条线段ａ、b、c构成三角形。

证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图,过顶点Ａ作ＤＥ‖BC,运用平行线的性质,可得∠B=∠２,∠Ｃ=∠1,从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE。

方法2 如图,在△ABC的边BC上任取一点D，过D作DＥ‖ＡB，DF‖AC，分别交ＡC、AB于Ｅ、F,再运用平行ﻫ线的性质可证得△AＢC的内角和等于ﻫ平角∠ＢＤＣ。

三角形按角分类ﻫ根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于１８0°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角。

三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论:推论1 直角三角形的两个锐角互余。

ﻫ推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

ﻫ推论３三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

ﻫ同时我们还很容易得到如下几条结论：ﻫ（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。

(2）一个三角形至少有两个内角是锐角。

ﻫ(3)一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则,若三个内角都大于６0°;则这个三角形的内角和大于18０°，这与定理矛盾）。

ﻫ(4) 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于３60°。

ﻫ全等三角形的性质ﻫ全等三角形的两个基本性质ﻫ(1)全等三角形的对应边相等。

（2）全等三角形的对应角相等。

ﻫ确定两个全等三角形的对应边和对应角ﻫ怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：ﻫ(1)若两个角相等,这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。

ﻫ(2)若两条边相等，这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角。

（3）两个对应角所夹的边是对应边。

ﻫ（4）两个对应边所夹的角是对应角。

ﻫ由全等三角形的定义判定三角形全等ﻫ由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等,需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。

判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(即SAS)。

这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来。

公理中的题设条件是三个元素:边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。

不能理解成两边和其中一个角相等。

否则，这两个三角形就不一定全等。

ﻫ例如在△AＢC 和△A′B′C′中,ﻫ如右图，ＡB=Ａ′B′,∠Ａ＝∠Ａ′,ＢC＝A′C′，但是△ＡBC不全等于ﻫ△Ａ′B′C′。

ﻫ又如，右图，在△AＢC和△A′B′C′中，AB=Ａ′B′，∠B=∠B′，ＡC=A′C′,但△ABC和△Ａ′Ｂ′C′不全等。

原因就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件。

说明:从以上两例可以看出,SAS≠SSA。

ﻫ判定两个三角形全等的第二个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。

ﻫ这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。

公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系。

千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。

ﻫ如右图，在△AＢＣ和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B=∠Ｂ′,AB＝A′C′,但这两个三角形显然不全等。

原因就是没有注意公理中“对应”二字。

ﻫ公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即ＳＡＳ不能改为SＳA或ASS。

而ASA公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。

同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。

由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理:三条边对应相等的两个三角形全等(即边、边、边公理)。

边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。

这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了。

这就是三角形的稳定性。

ﻫ判定两个三角形全等ﻫ通过以上三个公理的学习，可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。

ﻫ三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。

无非有如下情况：（1）三边对应相等。

(2）两边和一角对应相等。

ﻫ(3)一边和两角对应相等。

（4)三角对应相等。

ﻫHＬ公理ﻫ我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。

ﻫ但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立。

ﻫ斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为ＨＬ）。

这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等。

这种边、边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。

由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。

角平分线的性质定理和逆定理ﻫ性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

ﻫ逆定理:到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。

用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理:∵P在∠AＯB的平分线上ﻫPD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PEﻫ逆定理：∵PD＝PＥ,ＰＤ⊥OA,ＰE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上。

角平分线定义ﻫ如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。

ﻫ角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。

三角形角平分线性质三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。

互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

ﻫ原命题和逆命题的真假性每个命题都有逆命题,但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假;真、真;假、假;假、真。

互逆定理ﻫ如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。

每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理ﻫ尺规作图ﻫ限定用直尺(没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。

基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：ﻫ(1）作一个角等于已知角；ﻫ(2）平分已知角;(3）过一点作已知直线的垂线;ﻫ(4）作已知线段的垂直平分线;（５）过直线外一点作已知直线的平行线。

ﻫ有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形。

三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形。

有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。

ﻫ等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。

ﻫ等腰三角形的有关概念等腰三角形中，相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角。

等腰三角形的主要性质ﻫ两底角相等。

ﻫ如图,ΔAＢC中AB＝AＣ,取BC中点D,连结AＤ，ﻫ容易证明：ΔABD≌ΔACＤ,∴∠Ｂ=∠C。

如图，ΔAＢＣ中为等边三角形，那么，由ＡB＝AC，得∠B=∠C，ﻫ由CＡ=ＣＢ,得∠A=∠B，于是∠A=∠B=∠Ｃ,但∠A＋∠B＋∠C=１80°，ﻫ∴∠A＝∠B=∠Ｃ＝60°ﻫ如图,ΔABC中ＡB=AC,且AD平分∠ＢAＣ，那么由ΔAＢＤ≌ΔAＣD，ﻫ可得BD=ＣD,∠ADＢ=∠AＤC，ﻫ但∠AＤB+∠ＡDＣ=１80°，∴∠ADＢ=９０°,从而AD⊥ＢC，由此又可得到另外两个重要推论。

两个重要推论ﻫ等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边;等边三角形各内角相等，且都等于60°。