所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
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6.二元z 函 f(x,数 y)的图形
设函数 z f (x, y) 的定义域为D，对于任意 取定的P(x, y) D，对应的函数值为z f (x, y)， 这样以x 为横坐标、以y 为纵坐标、以z 为竖坐标 在空间确定一点M(x, y, z)，当(x, y) 取遍D中的 一切点时，得到一个空点间集
无界开区 域．
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3. 聚点
设E是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E，则称P 为E 的聚点.
说明： (1). 内点一定是聚点； (2) .边界点一定是聚点；
例如 E {x ,( y ) |0 x 2 y 2 1 },
第八章 多元函数微分法及其应用
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、区域
1. 邻域
设 P0(x0,是y0平) 面上的一个点， 是某一正数，
与点
P距0(离x0小,y于0) 的点 的P全(体x,，y)称
(3). n 维空间中邻域、区域等概念
邻域：U ( P ,) P |P | , P P R n
0
0
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
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5. 二元函数的定义
设D是平面上的一个点果集对，于如每一个 P(x, y)D,变量z按照一定的法则定总的有值确和 它对应，则 z是称变量 x, y的二元函数，记为 z f(x, y)(或记为 z f(P)).
E的边界点的全体E称的为边界．
•P
设 D 是开集．如果对于D内 任何两点，都可用折连线结起来， 且该折线上的点都属于 D，则称 开集D 是连通的．
E
• •
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连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{x ,(y )|1 x 2 y 2 4 }.
o
x
开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 称 为 闭 区 域 .
(1,0)既是 E 的边界点也是聚点．
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(3). 点集 E 的聚点可以属于E，也可以不属于 E．
例如, E {x ,( y ) |0 x 2 y 2 1 },
(1,0) 是E的聚点但不属于集合 E．
例如, E {x ,( y )|x 2 y 2 1 },
(2). n 维空间中两点间距离公式 .
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设两点为 P(x,x, ,x),Q (y,y, ,y),
12
n
12
n
| P | ( y Q x ) 2 ( y x ) 2 (地当 n1,时2,，3便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
y 例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
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对 于 点 集 E 如 果 存 在 正K数， 使 一 切 点 PE与某一定A点间的距离 AP不超过K， 即AP K，则称E为有界点集，否则称为 无界点集．
例如，{x ,( y )|1 x 2 y 2 4 }
有界闭区域； {x ,( y )|x y 0 }
类似地可定义三元及三元以上函 当 数．n2时，n元函数统称为多元. 函数
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量因变量等概念.
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例 1求函 f(x,数 y)arc3six2 ny (2)的定.义 xy2
解
3 x2 y2
1
x y2 0
2xxy22 y2 4
边界上的点都是 E 的聚点也都属于集合E ．
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4. n维空间
设n 为取定的一个自我然们数称 n，元数组 (x1,x2,,xn) 的全体n为维空间，而n每元个数 (x1,x2,,xn)称为 n维空间中的一个x点 i 称，为数 第i个坐标 .
说明：
(1). n 维空间的记号为 R n ;
为点 的 邻域，记P 0 为，
U(P0,),
U(P,)P|P|P
0
0
• P0
( x , y ) |( x x ) 2 ( y y ) 2 .
0
0
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2. 区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 蘿E ， 则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于E .
函数z f (x, y)当x x0, y y0 时的极限， 记作 lim f (x, y) A.
xx0 y y0
或记为 ( f (x, y) A,( 0),这里 PP0 ) .
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说明：
义P中 P0的方式是
(2) 二元函数的极 二限 重也 极 lim 叫 限 f(x,做 y); xx0 yy0
{(x, y, z) z f (x, y),(x, y) D}， 这个点集称为二元函的数图形.
二元函数的图形通常是一张曲面.
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二、多元函数的极限
定义1 设函数z f (x, y)的定义域为D，P0(x0 , y0 )
是其聚点，如果对于意 任给定的正数 ,总存在正数， 使得对于适合不等式0 PP0 (x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点P(x, y),都有f (x, y) A 成立，则称A为
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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如果点集E的点都是内点，
则称E为开集.
•P
例如，E {x ,( y )1 x 2 y 2 4 }
1
E
即为开集．
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如 果P点 的 任 一 个 邻 域于 内E既 的有 点属 ， 也 有 不 属 E的 于点 （P点 本 身 可 以E属 ，于 也 可 以 不 属 E）于， 则P称 为E的 边 界 点 ．