试卷答案
选择题
1. C
2.A
3.A
4.B
5.B
6.C
7.B
简答题
1. 晶体可分为哪几大晶系？
[解答]七大晶系：三斜，单斜，正交，三角，四方，六角，立方晶系
2.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?
[解答]自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.
原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.
在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.
3. 晶体中包含有N 个原胞，每个原胞中有n 个原子，该晶体晶格振动的格波简正模式总数是多少？其中声学波和光学波各多少？
[解答]3nN ，声学波3N ，光学波3(n-1)N
4.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
[解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
5.温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?
[解答]频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11
)(/-=T k B e n ωω .
因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T k B O e ω )大于(1/-T k B A e ω ), 所以
在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
设温度T H >T L , 由于(1/-H B T k e ω )小于(1/-L B T
k e
ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
6.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? [解答]按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
7.在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?
[解答]频率为i ω的格波的振动能为
i i i n ωε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21,
其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数
11
/-=T k i B i e n ω .
绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.
8.一维简单晶格中一个能级包含几个电子?
[解答]设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子.
9.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?
[解答]费密能级
3
/2220)3(2πn m E F =,
其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.
计算题
1.如果基矢,,a b c 构成简单正交系证明晶面族()hkl 的面间距为
)d =. 证 简单正交系a b c ⊥⊥ 123,,a ai a bj a ck === 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 123123
2a a b a a a π⨯=⋅⨯ 倒格子矢量123G hb kb lb =++222h
i k j l k a b c πππ=++ 晶面族()hkl 的面间距2d G π=222()()()h k l a b c
=++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大
晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理
2. 设晶体中每个振子的零点振动能量具,2
1γ 试用德拜模型求晶体零点振动能。

解：由德拜模型每频率在ωωωd +→间格波数
又由德拜模型知()129)6(;3312P v v
N N d w p n o m 见教本⎰⋅==ωπωωρ
晶体零点振动能m o m o Nh dv hv Nr E m
γγγ8
921932+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰
KN
89= 2136()p N k v
γπ= 3. 限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量2
22(,)()2x y x y E k k k k m
=+ 1）求能量E 到E +dE 之间的状态数
2）求此二维系统在绝对零度的费米能量
. 解：（1）采用周期边界条件 由L
n k e y x y L x x x L ik x πψψ21
),(),(1=
∴==+⋅得 每个K 矢在R 空间占体积为2
2
)2(L k k y x π=∆⋅∆ E 到E +dE 间的状态，在k 空间内的体积为,2kdk π在其中的状态数为： 由于dE mL dE m L dz kdk m dE 2
2222222242, πππ=⋅==所以 令22
πmL C = （2）⎰=⋅=⋅⋅=o F
E o o
F CE dE C N dE C E f dN )( 4.设一维晶体的电子能带可以写成2
271()(cos cos 2)88E k ka ka ma =-+ 其中a 为晶格常数，计算
1） 能带的宽度
2） 电子在波矢k 的状态时的速度
3） 能带底部和能带顶部电子的有效质量
解 1) 能带的宽度的计算2
271()(cos cos 2)88E k ka ka ma =-+ 能带底部0k = (0)
0E = 能带顶部k a π= 2
22()E a ma π
= 能带宽度()(0)E E E a π
∆=-2
22ma = 2）电子在波矢k 的状态时的速度
2271()(cos cos 2)88
E k ka ka ma =-+ 电子的速度1()()dE k v k dk =
3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量2
271()(cos cos 2)88E k ka ka ma =-+ 电子的有效质量2*22/E m k ∂=∂cos (1/2)cos 2m ka ka =- 能带底部0k = 有效质量*2m m = 能带顶部k a π= 有效质量*23m m =-。