j 2, l21
i2
a a21 1 2 1, j 3, l31 31 2 l11 1 l11 1
2 l22 a22 l21 2 1 1
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 (0 1 2) 2 l22 1
2 2 l33 a33 l31 l32 11 22
i2
1 3 1 5 , j 3, l31 a31 l11 l11 3 3
2
2 l22 a22 l21 53
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 5 1 (9 3) 2 2 l22 3 2
a11 l11 l11 a21 l21 l11
ai 1 li 1 l11
i 1, 2 , , n
L的第一列元素 li 1可以求出 假设L的第1 ~ r 1列已求出 , 考察A的第r列元素air
2 2 arr lrk lrk lrk lrr k 1 r k 1 r r 1
3．3 平方根法 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组称为对称正定方程组。 对 称正定方程组可用高斯消去法、LU 分解法求解，但可导出计算 量更小的平方根法。 利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解）求解对称正 定方程组的方法称为平方根法。 3.3.1 对称正定矩阵 对称矩阵 A AT 对称正定矩阵 A AT ，且对任意非零向量 x R n 有 ( Ax, x ) x T Ax 0
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1 k 1
r 1
i r , r 1, , n
可得L的元素的计算公式
l11 a11
ai 1 li 1 l11
r 1
i 2 ,3 , , n
2 lrr arr lrk k 1
a11 ar 1 an 1
a1 r arr anr
a1 n l11 l11 lr 1 ln 1 arn lr 1 lrr lrr lnr lnn ann ln 1 lnr lnn
平方根法：利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解） 求解对称正定方程组 Ax b 。 将 A LLT 代入 Ax b 有 LLT x b 令 LT x y ， 有 Ly b ， 求出 y ， 然后求三角方程组 LT x y 中 的x。 计算公式 i 1 1 yi bi lik yk ， i 1, 2, , n lii k 1 n 1 xi yi lki xk ， i n, n 1, ,1 lii k i 1
例 求解方程组
解
3.3.3 改进平方根法
将对称正定矩阵 A ，进行 A LDL 分解，可避免开方运算，其中 D diag( d i ) ，且 di 0 ， L 为单位下三角矩阵，有
T
由矩阵乘法当 i j 时
a11 a21 a n1
a12 a22 an 2
d2
d1 l21 l n1
d2 ln 2
1 l21 1 dn
ln1 ln 2 1
引入辅助变量 tij lij d j ，则 LDLT 分解计算公式 对于 i 1, 2,
,n , i 1
A ( LD ) ( LD )
1 2 1 2 T 1 2
其中 D diag ( d1 , d 2 ,
1 2
, d n ) ，令 L LD 为下三角矩阵，且
主对角元素均为正数，仍将 L 记为 L ，定理得证。
n 阶对称正定矩阵 A 存在唯一的对角元素均为正数的下三
角矩阵 L 使 A LLT 成立。 这种直接将 A 分解为 LLT 的方法称为矩 阵的乔累斯基分解。
5 2 ) (2 2) 2 3 2 3
l33
2 2 a33 l31 l32 17 (
例 对矩阵
进行乔累斯基分解。 解 A 为对称矩阵，且
A1 1 0 A2 1 0 A3 0
即 A 为对称正定矩阵。可进行乔累斯基分解。
i 1
l11
a11 1
a1n 1 a2n l21 ann ln1
j
1 ln 2
j 1
d1 1
d2
1 l21 1 dn
ln1 ln 2 1
aij lik d k lkj lik d k l jk lij d j ， l jj 1
, n 也是对称正定
1, 2,
,n
3． A 的特征值 i 0 ， i 1, 2,
,n ,n
4． A 的顺序主子式都大于零，即 det Ak 0 ， k 1, 2, 5． A 对称正定，则 A 的对角元素 aii 0 ， i 1, 2,
,n。
古尔维兹定理 序主子式为正。
。计算量和 LL 分解相当，
T
A LDLT
有
A L D LT D d1d 2
求解方程 即有
dn
Ax b LDLT x b
Ly b T DL x y
L xD y
T
1
有计算公式 （1）求解下三角方程组 Ly b 中的未知数 y ： y1 b1 i 1 ， （ i 1, 2, yi bi lik yk k 1 （2）计算 y DLT x 中的未知数 x： yn x n d n ， （ i n 1, n x yi l x i ki k d k i 1 i ,n）
于是，对 i 1, 2,
k 1 k 1
, n ，则有 j 1 1 lij aij lik d k l jk ， j 1, 2, dj k 1
2 , i 1 ， di aii lik dk k 1
j 1
将对称正定矩阵 A ，进行 A LDL 分解，虽然避免了开方运算，但
i 3 ， t31 a31 5 ， t32 a32 t31l21 9 5 1 4 ，l t31 5 ， 31 d1 3
5 2 t32 4 l32 2 ， d 3 a33 t31l31 t32l32 17 5 4 2 3 3 d2 2
3.3.2 对称正定矩阵的乔累斯基分解
定理 对称正定矩阵 A R nn 存在唯一的单位下三角矩阵
L 和对
角矩阵 D ，使
A LDLT
定理
对称正定矩阵 A R nn 存在唯一的主对角元素均为正
数的下三角矩阵 L ，使 A LLT 证 A 对称正定，可唯一的分解为 A LDLT 也可唯一地写成
， （ j 1, 2,
j 1 tij aij tik l jk , j 1, 2, k 1 tij , j 1, 2, , i 1 lij dj i 1 di aii tik lik k 1
, i 1 ）
计算顺序： d1 , l21 , d 2 , l31 , l32 , d3 , l41 , l42 , l43 , 且不需开方。计算行列式时，由
定理 设 A R nn 为对称正定矩阵，则 1． A 非奇异，且 A1 为对称正定矩阵。 2． Ak 为 A 的顺序主子阵，则 Ak ，k 1, 2,
a11 a21 矩阵，其中 Ak a k1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k ， k akk
, 2,1 ）
例 用改进平方根法解方程组
解
A 对称，且 系数矩阵
A1 3 0 A2 6 0 A3 4 0
方程组为对称正定方程组。
i 1
d1 a11 3
i 2, t21 a21 3, l21
t21 3 1, d 2 a22 t21l21 5 3 1 2 d1 3
（实）对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 的各阶顺
4 1 0 例 判断矩阵 A 1 4 1 0 1 4
的正定性。 解 A 为对称矩阵，且
A1 4 0 A2 4 4 (1)(1) 15 0 A3 56 0
即 A 为对称正定矩阵。
r 2 , , n
lir
air lik lrk
k 1
r 1
lrr
i r 1, , n
例 对矩阵
进行乔累斯基分解。 解 A 为对称矩阵，且
A1 3 0 A2 6 0 A3 4 0
即 A 为对称正定矩阵。可进行乔累斯基分解。
i 1
l11
T
在计算每个元素时多了相乘的因子， 因此乘积计算量比 LL 分解约大了一 倍，但分析计算 lij , di 的公式可以看出，式中许多计算是重复的。为了避 免重复计算，作如下的变换 其中 T LD ，即有
1 l21 l n1 1 ln 2
T
A LDLT TLT
d1 1 1 l21 1 dn ln1 ln 2 1