第四节 任意激励的响应
受有任意激励()F t 作用的单自由度系统，其振动微分方程
()mx cx kx F t ++=
若在0t
= 时有初位移0x 和初速度0x ，则系统的总响应为
00
0()
()[cos sin ]
1()sin ()n n t
n d d d
t t a d d
x x x t e
x t t F a e
t a dt
m ζωζωζωωωωωω---+=+
+-⎰
（4-2）
上式称为杜哈美（Duhamel ）积分。

注：（1）由杜哈美（Duhamel ）积分所得到的响应包含了强
迫振动的稳态响应和瞬态响应两部分。

（2）对于无阻尼系统，杜哈美（Duhamel ）积分为
00
()cos sin 1
()sin ()n n n
t n n
x x t x t t
F a t a dt
m ωωωωω=+
+-⎰
例题：确定弹簧质量系统在0t = 时受到突加常力
0()F t F = 作用下的响应。

t
)
t F
解：系统振动微分方程为
()
mx kx F t +=
其中 n ω=，周期 2n T πω=
由式（4-2），得系统的响应
002sin ()(1cos )(1cos )t n n
n n n F x t a da
m F F t t m k
ωωωωω=
-=-=-⎰
系统响应曲线如下图：
2
可见，当2n
T t πω== 时，弹簧的最大变形为
02F k ，它是静变形的2倍。

例题：确定上例系统从0t =到1t t = 时受到突加矩形脉冲
作用下的响应。

(F t 0
F
解：1. 在10t
t ≤≤ 阶段，其响应与上例相同，为
(1cos )n F x t k
ω=- ， 10t t ≤≤ （a ）
2. 在1t
t ≥ 阶段，振动系统的响应就是除去激振力后的剩
余振动。

此时，系统按固有频率做自由振动，且以在瞬时
1t t =的位移1()x t 和速度1()x t 作为初始条件。

则系统剩余
振动的响应为
1111()
()()cos ()sin ()n n n
x t x t x t t t t t ωωω=-+
-（b ）
其中初始位移1()x t 和初始速度1()x t 可由式（a ）求出，为
11()(1cos )n F x t t k ω=-
011()sin n
n F x t t k
ωω=
代入式（b ），得
11()[cos ()cos ],n n F x t t t t t t k
ωω=-+≥ （c ）
系统剩余振动的振幅为
010122sin sin 2n X F k F t F t k k T ωπ==== （d ） 式中2n
T π
ω=为系统自由振动的周期。

由此可见，在除去常
力()F t 后，质量m 的振幅X 随比值1
t T
而改变。

设 12T
t =，则 02F X k
=
设
1t T =，则 0X =，系统在除去激励()F t 后就停
止不动。