a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
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3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
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1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
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c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
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等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
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由①②联立，无解．
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令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
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(3)方法一：∵双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝
1(a>0，b>0)，则ba＝12.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
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由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质 的步骤是：首先将双曲线方程化为标准形式ax22－by22＝1 或ay22－ bx22＝1，确定 a，b 的值，进而求出 c，再根据双曲线的几何性 质得到相应的答案，这里特别提出的是双曲线ax22－by22＝1 的渐 近线为 y＝±bax，
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∵ba＝ c2a－a2＝ e2－1(e>1)， ∴e 越大，渐近线 y＝±bax 斜率的绝对值越大，即ba越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔． 由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
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[问题1] 双曲线的对称轴、对称中心是什么？ [提示1] 双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心是坐标原 点． [问题2] 双曲线的渐近线方程是什么？ [提示 2] 焦点在 x 轴的渐近线方程为 y＝±bax.
焦点在 y 轴的渐近线方程为 y＝±abx.
双曲线是生活的缩影，如果把生活的点点滴滴投射至无色 的纸张中，那么双曲线便是一件无法雕饰的艺术品，只有相对 的实轴，没有绝对的虚轴．人生有太多捉不到回忆的遗憾，绝 少完美．梦的延伸受着渐近线的控制，永远离不开追逐完美的 羁绊．每段人生都会有一个焦点，美好的人生也好，悲惨的人 生也罢，都会由这个焦点主宰着我们的生活，没有昨天和今 天，只有未来和希望．
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1．通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称 性、范围、顶点、离心率等简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近线，并能用双曲线的简单几何性质 解决一些简单的问题．
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4
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方法二：渐近线方程为 y＝±32x，变形得3y±2x＝0， 由渐近线方程的推导过程可设双曲线的方程为x42－y92＝ λ(λ≠0)，
当 λ>0 时，由 2 4λ＝6，解得 λ＝94. 此时，所求双曲线的标准方程为x92－8y12 ＝1；
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双曲线的离心率 e 对双曲线开口大小的影响 双曲线的离心率 e＝ac反映了双曲线开口的大小，e 越大， 双曲线的开口就越大，这可以从离心率对渐近线斜率的影响 上得以理解．(以双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)为例)
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2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第一课时 双曲线的简单几何性质
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(1)设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1 或 ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，2a＝8. 由题意知ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴a＝4，c＝5，b＝3， ∴标准方程为1x62 －y92＝1 或1y62 －x92＝1.
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解析： (1)若双曲线的焦点在 x 轴上，设其标准方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点(3，－ 2)，则a92－b22＝
1，
①
又 e＝ac＝ a2＋a2b2＝ 25，故 a2＝4b2.
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(2)由 2a＝2b 得 a＝b， ∴e＝ 1＋ba22＝ 2， 所以可设双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点 P(4，－ 10)， ∴16－10＝λ，即 λ＝6. ∴双曲线方程为 x2－y2＝6. ∴双曲线的标准方程为x62－y62＝1.
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(2)方法一：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的标准方
程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)．由题意得2baa＝＝326 ，解得ab＝＝392，.
所以双曲线的标准方程为x92－8y12 ＝1； 4
同理可得，当焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为 y92－x42＝1. 因此，所求双曲线的标准方程为x92－8y12 ＝1 或y92－x42＝1.
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思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方 程；
(3)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨论焦点所在的 坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程．
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当 λ<0 时，由 2 －9λ＝6，解得 λ＝－1.
此时，所求双曲线的标准方程为y92－x42＝1. 综上，所求双曲线的标准方程为x92－8y12 ＝1 或y92－x42＝1.
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2．已知双曲线 9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一
条渐近线的距离为15，则 m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析： 方程 9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为
y12－
x2 1
＝1(m＞0)，则
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标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
顶点 轴长 性 离心 质率 渐近
线
_(±__a_,_0_) _
(0_，__±__a_)_
实轴长＝_2_a__，虚轴长＝_2_b__
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双曲线ay22－bx22＝1 的渐近线为 y＝±abx，应区分两双曲线的渐 近线的异同．如果要求画出几何图形，首先画出两条渐近线 和顶点，然后根据双曲线的变化趋势，便可画出双曲线的近 似图形．