GDOU-B-11-302
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级
：
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名
：
试
题
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5
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加
白
纸
3
张
广东海洋大学2014—2015学年第二学期
《高等数学》课程试题
国考试QA卷Q闭卷
课程号:19221101x2
一・填空(3X8=24分)
1.设。

={1,2,-1},5 = {尤,1,0}, a Vb y贝x = ~2
2.设刁={2,0,-1},£ = {0,1,0},贝炊方=_{1,0,2}—
3.曲面z2 =]2 + y2在点(]]扼)处的切平血方程为_x+y-V^z = 0 —
4.将_wz平面上的曲线x2-^=l绕工轴旋转一周所得的旋转曲面的方程
4
5.函数z = ln(3 + x2 + r)的驻点为
6.设％为连接(-1,0)到点(0,1)的直线段，贝^(y-x)ds=— V2
L
7.慕级数寸U的收敛半径为3
/=! J
8.微分方程寸,=广的通解为y =_；广+时+仁 _________
y ~e9
二.计算题（7X2=14分）
1.设z- yln（x2 + y2）,求dz ・
ATJ dz 2xy dz t z 9入2y2
解：f = =血3 + 广）+ 十^
6冬
8x
6z
解：积分区域D可表示为
0<%<1 0<y<x2
dz = , dx + [ln(x2 + y2) + ?)」dy
x~ +广JT +广
2.设z = f(x, y)是由方程z3 -3yz + x = a3所确定的具有连续偏导数的函数,
dz d2z
ox dx2
解：令F(x, y. z) = z3- 3yz + x-a3求偏导,得 F,. = 1,F, =3z2-3y
则—=「
dx F z3z2 -3y
d2z
a? (3z?—3 力2 (3z2—3 力3 三.计算下列积分（7X4=28分）
L其中。

是由y=o,y=x2及尤=1所围成的闭区域。

D
原式-£ dx^ (y-x2)dy
|X2
| dx- f (-—x4)d/x = —
Jlo Jo210
2.证明曲线积分(2xy- y2)dx + (x2 -2xy)dy在整个时平面内与路径无
关，并计算积分值。

解：设P = 2xy- y2,Q = x2 -2xy 9则^- = — = 2x-2y
dx dy
故曲线积分与路径无关。

原式二J；(l-2y)dy = 0
3. 计算(1 -x)dydz + (2 - y^dzdx + (3- z)cbcdy,其中£ 是球面
00
所以级数Z(-1)〃”=1
1
\]l + n2
收敛.
]
又lim^l"E = lim
ns 1
n
n
i 丁 2 =i ,而级数£上发散心〃
x2 + >,2 + z2 = 9 的外侧。

解：设V是由£围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得项6xdydz + ydzdx + 3zdxdy = JJJ （。

（厂）+ 以? >）+ 气-》）加
二泌，二一108勿
V
4.计算jj 一；-- -clxdx ,其中。

是由%2 + y2 < 25围成的闭区域。

W 1 + r + y
解：积分区域D在极坐标下可表示为
[0 < r < 5
原式二doi-^rdr
Jo Jo 1 + r
1 . 2
= 2）— ln（l + 厂）=7i In 26
2 o
四.计算题（7X4=28分）
1.判别级数Z（T）〃U>是否收敛?若收敛，是绝对收敛还是条件n=l。

2 + 〃~
收敛?
解：令勾二/ 1，则勾> "〃+1，且lim u n = 0
<2 + n2e
所以级数旗口亍发散
n-\+ 〃~
展开为
X 的慕级数。

因此级数Z(-条件收敛。

n=l 。

2 + 〃2
2 .将函数/(]) = —L
x-3
解：因为-L=y/\
1 一 x ,1=0
则 > =次(眼[]0珈施％T+C]
=。

一""[J 6 J"弦 + c] = 3 + ce~2x
代入初始条件y ，=o
= 2,得c = -1
所以特解为y = 3-e
4.求微分方程y" + y = "的通解。

解：特征方程为产+尸=0,得特征根为*=0,弓=-1
对应的齐次方程的通解为：y = 广 设严=打是原方程的特解，则。

=上 2 所以原方程的通解为：y =
五.证明 dyj ； f(x)dx = j (：(勿- x)/(x)dx ( 6 分) 证明：设积分区域D 为[十〉服，则D 可表示为
[0<x< y
[x< y< 7i
J ： dy J ； f(x)dx = J ： dx^ f(x)dy =匚(勿-x)f(x)dx
所以 f(x) = -^- x-3
00
8
X Q ------
3(1--) 3
«=°
3.求微分方程半+ 2)，= 6满足初始条件y|x0=2的特解。

dx
次=。

H
=0
—J-3<x<3) 3“。