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选择题（每小题4分，共24分） 填空题（每小题4分，共48分） 解答题（本题共7题，满分78分）
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2018年上海金山区初三一模数学试卷
选择题（每小题4分，共24分）
1. 已知a、b是不等于0的实数，2a = 3b，那么下列等式中正确的是（ ）．
A.
a =
2
b
3
C. a + b
4
=
）．
A. a = b ⋅ cos A
B. c = a ⋅ sin A
C. a ⋅ cot A = b
D. a ⋅ tan A = b
答案 C
解析
，即 ， 错． b
cos A =
cos A ⋅ c = b A
c
，即 ， 错． a
sin A =
sin A ⋅ c = a B
c
，即 ， 正确． b
cot A =
∴ ， △BF D ∽ △DF C
∴ ． 2 DF = BF ⋅ C F
（2） 在AB上取一点G，如果AE ⋅ AC = AG ⋅ AD，求证：EG ⋅ C F = ED ⋅ ． DF
编辑
答 案 证明见解析．
解析
∵ ， AE ⋅ AC = ED ⋅ DF
∴ ． AE
AG
=
AD
AC
又∵∠A = ∠A ，
式．
/04
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答案 解析
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2018/12/04
． −−→
MN =
1 a⃗ −
1⃗ b
2
2
，其中 ， ， −−→ −−→ −−→
MN = CN − CM
2
2
编辑
11. 已知一个斜坡的坡度i = 1 : √3，那么该斜坡的坡角为
．
答案
∘ 30
解析
tan α = √3 ，即$$\alpha
3
12. 如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，AE = 1 ， ED CE与BD相交于点F，BD = 10，那么DF =
．
2
答案 4
解 析 易得 ， △F DE ∽ △F BC
{ C D > r + DG
解得 ． 5 < r < 10
填空题（每小题4分，共48分）
7. 计算：3a⃗ − (a⃗ − 2b⃗ ) =
．
答案
2a⃗ + 2b⃗
解析
． 3a⃗ − (a⃗ − 2b⃗ ) = 3a⃗ − a⃗ + 2b⃗ = 2a⃗ + 2b⃗
8. 计算：2sin245∘
−
tan
∘ 45
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选择题（每小题4分，共24分） 填空题（每小题4分，共48分） 解答题（本题共7题，满分78分）
10. 在 中， ， ，那么 Rt△ABC
∘ ∠C = 90
1 sin A =
cos A =
．
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2
答 案 √3
2
解析
，则 ， ． 1
sin A =
A = 30∘
√3 cos A = cos 30∘ =
设C D = x 米，
， ∘
∘
AB = BD − AD = x ⋅ tan 37 − x ⋅ tan 32 = 780
解得 ． x = 6000
23.
如图，已知在Rt△ABC中，∠AC B
=
， ∘
90
AC
>
BC，C 是 D Rt△ABC的高，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线
D. 90厘米、120厘米
答案 C
解析
相似比可能为 或 或 ． 20 : 60 = 1 : 3 30 : 60 = 1 : 2 40 : 60 = 2 : 3
A相似为2 : 3．
B相似为1 : 2．
D相似为1 : 3．
C选项不满足．
6.
在 中， Rt△ABC
∠AC B
=
， ∘
90
AC
=
， 12 BC
（1） 求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标．
答案
，顶点为 ． y = −x2 + 2x + 3
P (1, 4)
解 析 易得C 为(0, 3)，
∵OA = OC ，A在x轴正半轴，
∴ 为 ． A (3, 0)
又∵对称轴为x =
b
，解得 ，顶点为 ． = 1
y = −x2 + 2x + 3
P (1, 4)
=
9，D是AB的中点，G是△ABC 的重心，如果以点D为圆心DG为半径的
圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（ ）．
A. r < 5
B. r > 5
C. r < 10
D. 5 < r < 10
答案 D
解 析 分析易得， ， ， ， DG = 2.5 C G = 5 C G = 7.5 ∵两圆相交， ∴ ， C D < r + DG
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编辑
5. 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角
形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）．
A. 30厘米、45厘米
B. 40厘米、80厘米
C. 80厘米、120厘米
答 案 ⊙O的半径为5．
解 析 联结OC 交AB于D，
由垂径定理得OD垂直平分AB，
设⊙O的半径为r，
在 2
2
C D + AD = AC
r=5
即⊙O的半径为5．
22. 如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32∘的方向上，向东走过780米后到达B处，测
cos 60∘
答案
原式 ． 3√3
=
−2
2
解析
√3
原式 1 = × √3 +
−1
2
√3
3√3
=
+ √3 − 2 =
． − 2
2
1
2
2
2
−−→
−−→
−−→
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M 、N分别是边DC 、BC 的中点，设AB = ， a⃗ AD = b⃗，求向量MN 关于a、⃗ b⃗的分解
得海岛在南偏西37∘的方向上，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan
∘ 37
=
∘ cot 53
≈
，∘
0.755 cot 37
=
∘ tan 53
≈
1.327
， ， ） ∘
∘
∘
∘
tan 32 = cot 58 ≈ 0.625 cot 32 = tan 58 ≈ 1.600
答 案 米． 6000
解析
2018/12/04 过C 作C D⊥M N 于点D，
∴ ， △AEG ∽ △ADC
∴ ， ∠AEG = ∠ADC = 90∘
∴ ， EG//BC
． EG
BF
=
ED
DF
由（ ）知 ， 1
△BF D ∽ △DF C
∴ ， BF
DF
=
DF
CF
∴ ， EG
DF
=
ED
CF
∴ ． EG ⋅ C F = ED ⋅ DF
2018/12/04 24. 平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y = ax2 + bx + 3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA = OC，与x 轴的另一个交点为B，对称轴是直线x = 1，顶点为P ．
又∵ ， ∘ ∠C OA = 90
∴ ， ∘ ∠C OB = ∠OBC = 30
∴ ． BC = OC = 6
在 中， ，解得 ， Rt△AOC
OA
∘
1
= sin 30 =
AC = 2OC = 12
AC
2
∴ ． AB = AC + BC = 18
编辑
16. 如果一个正多边形每一个内角都等于144∘，那么这个正多边形的边数是
−2a
（2） 抛物线的对称轴与x轴相交于点M ，求∠P MC 的正切值．
答案
． 1
tan ∠P M C = 3
解析
， ， ， M (1, 0) P (1, 4) C (0, 3)
． 1
tan ∠P M C = tan ∠M C O = 3
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选择题（每小题4分，共24分） 填空题（每小题4分，共48分） 解答题（本题共7题，满分78分）
．
18. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC 边上的点F处，如果四边形CDEF和
矩形ABC D相似，那么四边形C DEF 和矩形ABC D面积比是
．
答案
3 − √5 2
解 析 如右图所示，
易得四边形ABF E为正方形，
设 ， ， AB = b BC = a
∴相似比为DE : BC = 2 : 3 ，
故 ，且 ， DF : BF = 2 : 3
BD = 10
∴ ． DF = 4
13.
抛物线y
=
2 2x
−
1的顶点坐标是
．
2018/12/04
答 案
(0, −1)
解析