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关于集中力的说明
II U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A
单独考虑集中力
I I U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A P iu i
体积力 分布面力 集中力
WbiuidVSp piuidA
b i 单位体积力 p i 面力
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弹性体系统的总势能
对于保守力场作用下的弹性体系统 总势能：
II＝U-W U－弹性势能或变形(应变)能 W－外力功
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3.2 弹性问题的变分原理
最小势（位）能原理 最小势能原理的等价性
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外力载荷
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3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
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Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
➢ 构造单元位移函数 ➢ 应变的表达 ➢ 应力的表达 ➢ 单元的应变能 ➢ 单元的外力功
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Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
说明： S Sp Su
满足位移边界条件： ui 0
S ij uiljdASp ij uiljdA
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ijijdV biuidV Sp piuidA
SpijuiljdA ij,juidV biuidV Sp piuidA
[ ij,j
bi]uidV
[
Sp
ijlj
pi]uidA
[ij,j b i]u id V S p [ijlj p i]u i件
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虚功原理—关于虚位移原理
外力作用下处于平衡状态的弹性体，产 生约束许可的微小虚位移（并同时在弹 性体内产生虚应变），外力在虚位移上 所作的虚功等于弹性体内各点的应力在 相应的虚应变上所作的虚功。
弹性问题中等价于最小势能原理！
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比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理， 可以用于一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出 的一种表述形式，但是对于线弹性问题， 最小势能原理的应用非常方便。
能量变分原理方法可以很方便的扩展到结 构位移场以外的不含非线性的领域，如求 解热传导、电磁场、流体动力学等问题。
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。
1
U 2 (xx yyzz x yx y y zy z x zx z) d V
1 2
ij
ijdV U0dV
单位体积的应变能（应变比能）：
U 0 1 2 (xx yy zz xx y yyy z zxx z ) z1 2 ij ij
弹性体变分原理—最小势能原理
总势能 II＝U-W
II 12ijijdV biuidV Sp piuidA
1
σTεdV[
T
u bdV
T
u pdA]
2
Sp
弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界
条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势
能取最小值。（证明从略）
II＝0
真实位移
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Step 1.几何离散
F
2个单元（编号：1，2）
整体节点 整体等效节 位移列阵 点力列阵
3个节点（编号：1，2，3） u 1
q
u
2
u 3
P1 R 1
P
P2
0
P3 F
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Step 2.单元特征分析—位移函数
xi
xj
单元节点位移列阵：qe
ijij
dV
biuidV
Sp
piuidA
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ijijdV ij 12ui,j uj,i dV ijui,jdV (ijui),jdV ij,juidV
SijuiljdA ij,juidV
分部积分 高斯定理
ui 0 on Su
ij ijd V S p ij u iljd A ij,j u id V
弹性体平衡
We= Wi
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We= ( b xu b yv b zw )d V S p (p xu p yv p zw )dA
W = i
(xx yy z z xy x yyz y zxz x ) d z V
We= Wi
ij id j V b i uid VSppi uidA
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微元变形能（正应变）
F Δu
d U 1 2 F u 1 2 (x d y d z)(x d x ) 1 2xx d V
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外力做功 W ( b x u b y v b z w ) d V S p (p x u p y v p z w ) d A
势 能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力， 称为系统在这一位置的势能。 势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势 位置，又称为势能零点。 保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点 和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。
保守力做功与势能增量的关系： V= – W
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弹性势能
最小势能原理的等价性
II 1 2ij ijd V b iu id V Spp iu id A II 1 2 D ijk l ij k ld V b iu id V S pp iu id A
ij
ij
ui ui
Dijklijkl
dV
biuidV
Sp piuidA
第3讲 弹性问题的有限元方法(1)
金朝海
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第3讲 弹性问题的有限元方法(1)
3.1 弹性体系统的总势能 3.2 弹性问题的变分原理 3.3 简单杆系弹性问题的有限元求解过程 3.4 连续体弹性问题的有限元求解过程 3.5 有限元分析中若干问题的探讨
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3.1 弹性体系统的总势能
u1e u2e
ui u j