3.2 三角形3．2．1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。

如图3.2-1 ，在三角形ABC∆中，有三条边,,AB BC CA，三个角CBA∠∠∠,,，三个顶点,,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段。

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。

三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点。

例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1。

已知:D、E、F分别为ABC∆三边BC、CA、AB的中点，求证:AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1。

证明连结DE，设AD、BE交于点G，ΘD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且12DE AB=，GDE∆∴∽GAB∆，且相似比为1：2，GEBGGDAG2,2==∴。

设AD、CF交于点'G，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F==则G与'G重合，∴AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1。

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。

三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等。

（如图3.2-5）例2已知ABC∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c===，I为图3.2-1 图3.2-2图3.2-3图3.2-4图3.2-5ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==。

证明:作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，AF AE ,Θ为圆的从同一点作的两条切线，AF AE =∴，同理，BD=BF ，CD=CE 。

CD BD CE AE BF AF --+++=-+∴a b cAE AF AE AF 22==+=即2b c aAE AF +-==。

例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。

已知:O 为ABC ∆的重心和内心。

求证: ABC ∆为等边三角形。

证明:如图，连AO 并延长交BC 于D 。

O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠，DCBDAC AB =∴（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC 。

1=∴ACAB ，即AB AC =。

同理可得，AB =BC 。

ABC ∆∴为等边三角形。

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。

锐角三角形的垂心一定图3.2-6图3.2-7图3.2-8在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。

（如图3.2-8）例4求证：三角形的三条高交于一点。

已知:ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点。

求证:AB CH ⊥。

证明:以CH 为直径作圆，,,E AC BE D BC AD 于于⊥⊥Θ︒=∠=∠∴90HEC HDCE D 、∴在以CH 为直径的圆上，DEH FCB ∠=∠∴。

同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BAD BED ∠=∠。

BCF BAD ∠=∠∴，又ABD ∆与BCF ∆有公共角DBF ∠，︒=∠=∠90ADB BFC ，即AB CH ⊥。

过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是ABC ∆的外接圆，圆心O 为三角形的外心。

三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。

练习1 1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。

2．（1）若∆ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则∆的内切圆的半径是 。

并请说明理由。

（2）若∆t R 三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则∆的内切圆的半径是 。

并请说明理由。

3.2.2 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。

因而在等腰ABC ∆中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上。

例5在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC ===求:（1）ABC ∆的面积及AC 边上的高BE ；（2）ABC ∆的内切圆的半径r ；（3）ABC ∆的外接圆的半径R 。

解:（1）如图，作AD BC ⊥于D 。

,AB AC D =∴Q 为BC 的中点， 2222=-=∴BD AB AD ,2222221=⨯⨯=∴∆ABC S 又BE AC S ABC •=∆21,解得423BE =。

（2）如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ，IAC IBC IAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，即11122222AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅， 解得22r =。

（3）ABC ∆是等腰三角形，∴外心O 在AD 上，连BO ， 则OBD R ∆t 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+图3.2-10 图3.2-13图3.2-11 图3.2-12222(22)1,R R ∴=-+解得92.8R =在ABC R ∆t 中，A ∠为直角，垂心为直角顶点A ， 外心O 为斜边BC 的中点，内心I 在三角形的内部，且内切圆的半径为2b c a+-（其中,,a b c 分别为三角形的三边BC ,CA ,AB 的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC +=。

例6如图，在ABC ∆中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点。

求证：PC PB AB AP •-=22。

证明：过A 作BC AD ⊥于D 。

在ABD R ∆t 中，222AD AB BD =-。

在APD R ∆t 中，222AP AD DP =-。

)()(22222DP BD DP BD AB DP BD AB AP -•+-=+-=ΘDC BD BC AD AC AB =∴⊥=,,Θ。

PC DP CD DP BD =-=-∴。

PC PB AB AP •-=∴22。

正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心。

例7已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，ABC ∆的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h =，可得结论：123h h h h ++=。

”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P 在ABC ∆内（如图b ），（2）点在ABC ∆外(如图c)，这两种情况时，上述图3.2-14结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）。

解:（1）当点P 在ABC ∆内时， 法一如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ， 由题设知'AM PD PE =+， 而'AM AM PF =-， 故PD PE PF AM ++=， 即123h h h h ++=。

法二如图，连结PA 、PB 、PC ，PBC PAC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=Θ，PF BC PE AC PD AB AM BC •+•+•=•∴21212121， 又AB BC AC ==，PF PE PD AM ++=∴， 即123h h h h ++=。

（2）当点P 在ABC ∆外如图位置时，123h h h h ++=不成立，猜想：123h h h h +-=。

注意：当点P 在ABC ∆外的其它位置时，还有可能得到其它的结论， 如123h h h h -+=，123h h h h --=（如图3.2-18，想一想为什么？）等。

在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法。

练习21.直角∆的三边长为3，4，x ,则x =________。

2.等腰∆有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________。

3.满足下列条件的ABC ∆，不是直角三角形的是（ ） A.222b ac =- B.C B A ∠=∠-∠ C.5:4:3:::=∠∠∠C B A D.::12:13:5a b c =图3.2-16图3.2-184.已知直角三角形的周长为3 1，求这个三角形的面积。

5.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。

图 3.2-20图 3.2-19图 3.2-21图3.2-22习题3.2 A 组1.已知：在ABC ∆中，AB =AC ，120,oBAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（ ） A.32AD AB =B.12AD AB = C.AD BD = D.22AD BD = 2.三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．83.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________。

4.已知:,,a b c 是ABC ∆的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。

5.若三角形的三边长分别为1、a 、8，且a 是整数，则a 的值是_________。

B 组1.如图3.2-19，等边ABC ∆的周长为12，CD 是边AB 上的中线，E 是CB 延长线上一点，且BD =BE ，则CDE ∆的周长为（ ）。

A ．643+B ．183+C ．623+D ．1843+2.如图3.2-20，在ABC ∆中，2C ABC A ∠=∠=∠，BD 是边AC 上的高，求DBC ∠的度数。

3.如图3.2-21，ABC R ∆t ，,90︒=∠B M 是AC 的中点，AM=AN ，MN//AB ，求证：MN=AB 。

4.如图3.2-22，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB +BD =AC 。

求:B C ∠∠的值。

5.如图3.2-23，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且14EC BC =， 求证：︒=∠90EFA 。

图3.2-23C 组1.已知241,2,2,1k b k a c k ac k >=+==-，则以a b c 、、为边的三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．形状无法确定2.如图3.2-24，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与12∠+∠ 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）。