海南中学2010—2011学年第一学期期终高一数学试题(必修四)(总时量：120分钟 总分：100分)第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本题12小题，每题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案涂在答题卡上) 1．下列与6π终边相同的角为( ) A ．390 B ．330C ．60D ．300-2．角α的终边过点P (4，－3)，则αcos 的值为( ) A ．4B ．－3C ．54 D ．53-3．已知|a|＝2，|b |＝1，1a b ⋅=，则向量a 在b 方向上的投影是( )A ．1B ．1-C ．12D ．12-4．若α为第三象限，则ααααsin sin 2cos cos +的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－15．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为( )弧度 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知向量(,2),(2,2)a k b ==-且b a ⊥，则k 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2D ．－27．对于函数x x x f cos sin 2)(=，下列选项中正确的是( ) A ．)(x f 在)2π,4π(上是递增的 B ．)(x f 的最小正周期为π2 C ．)(x f 为奇函数D ．)(x f 的最大值为28．计算下列几个式子，①sin35︒cos25︒＋ cos35︒sin25︒ ②6πtan16πtan2- ③15tan 115tan 1-+④35tan 25tan 335tan 25tan ++，结果为3的是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．与向量a ＝(12，5)平行的单位向量为( ) A ．125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 10．电流I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin (ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流是( )A ．－5安B ．5安C．53安D ．10安11．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令ab=mq-np ，下面说法错误．．的是( ) A ．若a 与b 共线，则a b=0B ．ab=b aC ．对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D ．2222(ab)+(a b)=|a||b|⋅12．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+且)(x f 在]2,3[--上是减函数，又βα,是锐角三角形的两个内角，则( ) A ．)(sin )(sin βαf f >B ．)(cos )(cos βαf f <C ．)(cos )(sin βαf f <D ．)(cos )(sin βαf f >第Ⅱ卷(非选择题 共64分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分)13．函数)12tan(+=x y 的最小正周期为__________．14．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的_______心．(填外心，内心，重心或垂心) 15．已知1411)cos(,71cos ,,-=+=βααβα都是锐角，则βcos ＝_________． 16．设函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，给出下列三个论断：①()f x 的图象关于直线π6x =-对称；②()f x 的周期为π；③()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(共48分) 17．(6分)如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → ＝a ，CB →＝b ，试用b a ,表示AD 、CE ．18．(8分)已知πtan 34α⎛⎫+=⎪⎝⎭，计算： (1)tan α；(2)αααα2sin 32cos 52cos 32sin -+19．(8分)已知2||=a，3||=b ，a 与b 的夹角为︒120．求(1)(2)(3)a b a b -⋅+；(2)||b a-20．(8分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (3，0)、B (0，3)、C )sin ,(cos αα，α∈(2π，2π3)， (1)若|AC |＝|BC |，求角α的值．(2)若AC ·1-=BC ，求αααtan 12sin sin 22++的值．21．(8分)如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为32m ，圆环的圆心距离地面的高度为m 1，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P 0处. (1)试确定在时刻t 时蚂蚁距离地面的高度)(t h ；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过32m ？22．(10分)设函数)()(c b a x f +∙=，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c＝(－cos x ，sin x )，x ∈R . (1)求函数)(x f 的单调减区间．(2)函数)(x f y =的图象可由函数x y sin =的图象经过怎样变化得出？(3)若不等式2)(<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π, 8πx 上恒成立，求实数m 的取值范围．海南中学2010—2011学年第一学期期终 高一数学试题(必修四)参考答案一、选择题：(每小题3分共计36分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACABBCCDCABD二、填空题：(每小题4分，共计16分) 13．2π14．垂心 15．21 16．由①②⇒③或由②③⇒① 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：a b CA CB AD 3131)(31-=-=……………3分 a b AE CA CE 3132+=+=……………6分 18．解：(1)πtantan π1tan 4tan()3π41tan 1tan tan 4ααααα+++===-- 1tan 2α∴= …………4分(2)22tan 4tan 21tan 3ααα==- 原式＝sin 23cos 23tan 2135cos 23sin 253tan 23αααααα++==--……8分 19．解：3)21(32120cos -=-⨯⨯=︒=⋅b a b a(1)223 5 2) 3 ( ) 2(b b a a b a b a -⋅+=+-3427158-=--= …………4分(2)2222)( b b a a b a b a +⋅-=-=-19964=++= …………8分20．解：(1)∵AC ＝(cosα－3，sinα)，BC ＝(cosα，sinα－3)，∴|AC |＝αααcos 610sin )3(cos 22-=+-，|BC |＝αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.由|AC |＝|BC |得sinα＝cosα. 又∵α∈(2π，2π3)，∴α＝4π5. ………4分 (2)由AC ·BC ＝－1得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1. ∴sin α＋cos α＝32.① 又ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++＝2sin αcos α.由①式两边平方得1＋2sin αcos α＝94， ∴2sin αcos α＝95-. ………8分 21．解：(1))(2cos 321)(m t t h π-=…………………4分 (3)由322cos 321)(>-=t t h π解得6561<<t ，所以一圈内，有32分钟的时间蚂蚁距离地面超过32m . …………8分 22．解：(1)由题意得)()(c b a x f +∙=＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝22+sin (2x ＋π43)…2分)π(83π8πππ23π2π4322ππ2Z ∈+≤≤-+≤+≤+k k x k k x k 得由故)(x f 的单调减区间为)(π83π,8ππZ ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k ………4分 (2)先将x y sin =的图象上所有点向右平移4π3个单位， 再将所得的图象上所有点横坐标压缩到原来的21，然后再将所得的图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图象上所有点向上平移2个单位即可得)(x f y =的图象………6分(3)∵2)(<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π , 8πx 上恒成立∴2)(2)(+<<-x f m x f∴[]2)(max ->x f m 且[]2)(min +<x f m 即0>m 且24-<m∴240-<<m ………10分。