天文学常用简单公式
编辑人：丛雨
1.视运动和天球坐标系
(1)地平高度h 与天顶距z 的关系
90z h
=︒-(2)天体上中天时的地平高度
90h δϕ
=︒--天体下中天时的地平高度
90h δϕ=+-︒
其中δ是天体的赤纬，φ是地理纬度，北纬取正南纬取负。

(3)恒星时S 与时角t 的关系（对于任意一个赤经为α，时角为t 的天体）
S t
α=+春分点赤经为0h ，所以春分点的时角即为当前的恒星时。

(4)球面三角基本公式（大写字母为角，小写字母为边）
sin sin sin sin sin sin a b c A B C
==cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos a b c b c A
A B C B C a
=+=-+(5)球冠的表面积（h 为球冠高度，R 为球的半径，r 为球冠的底面半径）
222()
S Rh
r h ππ==+2.望远镜
(1)角放大倍率：物镜焦距÷目镜焦距
(2)极限星等（望远镜口径为D ，肉眼极限星等取6等，瞳孔直径d 一般取6或7mm ）
65lg D
m d
=+(3)角分辨率（θ以弧度为单位，λ为观测波长）
1.22D
λ
θ=对于光学望远镜（取λ=550nm ，θ以角秒″为单位，D 以毫米mm 为单位）上式简化为
140
D
θ=(4)薄透镜成像公式（焦距f ，凸透镜焦距为正、凹透镜焦距为负；物距u ；像距d ，实像取正号、虚像取负号）
111f u d
=+(5)底片比例尺（焦距为F 的望远镜或相机，实际角直径α与像平面上的长度l 的比值）
206265(/)mm l F
α="3.角直径
(1)球形天体的角直径（天体的距离d 普遍远大于其半径R ）
2R
d θ=准确的式子为2arcsin R d
θ=。

需注意角度与弧度的换算。

同理，一段距离或长度l 在距离d （d l ）处张角的弧度大小l d θ=。

根据秒差距的定义，1AU 在1pc 外的张角大小为1角秒，由于1rad =206265ʺ，则1pc =206265AU 。

(2)内行星大距时与太阳的角距离（内行星轨道半径r 1，外行星轨道半径r 2）
12
arcsin r r θ=(3)周年视差为π（角秒″）的恒星，其距离（秒差距pc ）
1
d π
=此式默认了测量地点为地球，若在其他天体上需乘以其轨道半径（以AU 为单位）。

4.会合周期
12
111t T T =-①T 1和T 2为内行星和外行星的公转周期，t 为两者的会合周期（两次冲日的时间间隔）。

②太阳日（一昼夜的长度）是地球自转与公转的会合周期，朔望月是月球绕地球公转与绕太阳公转的会合周期。

③两天体角速度的方向相同时取-号，如行星的公转计算会合周期；角速度的方向相反时取+号，如金星的自转和公转计算太阳日长度。

5.光度和亮度
(1)恒星的光度（恒星每秒辐射的总能量，即功率，其中半径R ，有效温度T e ，斯特藩–玻尔兹曼常量σ，也适用于黑体辐射）
24
4e L R T πσ=(2)在距离辐射源r 处单位时间、单位面积接收到的辐射流量（亮度）
2
4L
F r π=由此可知亮度与距离的平方成反比。

(3)普朗克黑体辐射定律（温度为T 的黑体，单位面积、单位时间、单位立体角、单位频率或波长间隔内辐射的能量）
32/211h kT h B c e ννν=-或25/211
hc k T hc B e λλλ=-(4)维恩位移定律（黑体辐射的峰值波长为λ）
0.29cm K
T λ=⋅6.星等
(1)距离模数公式（视星等m 与绝对星等M 的关系）
5lg 5
m M r -=-其中距离r 的单位是秒差距pc ，m M -被称作距离模数。

(2)对一天体在不同波段测光所得的星等差称为色指数，例如B V -色指数
B V
B V m m -=-(3)全波段绝对热星等M bol 与热改正BC
bol V M M BC
=+(4)普森公式（亮度为E 1和E 2，或辐射流量F 1和F 2的天体的星等差）
1122
2.5lg E m m E -=-①可写作绝对星等与光度的关系式11222.5lg
L M M L -=-。

②使用此式常和已知天体的（绝对）星等、亮度（光度）进行比较，如通过太阳的绝对星等M S 与太阳光度L ⊙来计算其他天体 2.5lg S L M M L -=-。

③可根据21F r
∝用普森公式计算同一天体在不同距离时的星等2212112.5lg r m m r -=-，并据此推导出距离模数公式。

④双星（多星）系统的总星等m 所对应的是两星亮度相加后的总亮度12E E +，即12112.5lg E E m m E +-=-或1222
2.5lg E E m m E +-=-。

7.万有引力
(1)万有引力公式（适用于距离为r 的两质点，或质量分布均匀的球形物体）
2
Mm
F G r =(2)引力势能（无限远处为势能零点）p Mm
E G
r =-(3)开普勒第三定律（太阳系中天体的半长轴a 与周期T 的关系，太阳质量M ⊙远大于行星等天体的质量）
3224GM a T π= 或33122212
a a T T =若a 以AU 作单位，T 以年作单位，对于太阳系天体，上式可简写为3
21a T
=。

对于双星模型，准确的开普勒第三定律为
322
()4a G M m T π+=式中12a a a =+为两天体的半长轴之和，且12Ma ma =。

当a 以AU 为单位，T 以年为单位时，双星系统的总质量以太阳质量M ⊙为单位。

(4)活力公式（限制性二体问题中小天体的速度为v 、半长轴为a 、到质心的距离为r ）
221()()v G M m r a
=+-当M m 时省略m （如飞行器绕地球、行星绕恒星运动）221(v GM r a
=-。

(5)椭圆轨道的极坐标参数方程
θ
cos 1)1(2e e a r +-=
极角θ为从近日点开始算起，天体和焦点的连线与椭圆长轴方向的夹角，若从远日点算起则分母取-号
(6)倍）
21v ==(7)位力定理（引力束缚系统的总动能或平均动能T <>，总势能或平均势能V <>）
20
T V <>+<>=8.红移和宇宙学
(1)多普勒红移和宇宙学红移的定义式（λ0为原波长，Δλ为波长的变化量）
z λ
λ∆=(2)红移z 与退行速度v 的关系2(1)c v
z c v ++=
-当视向速度远小于光速时（v c ），v z c
=。

(3)哈勃定律（星系的退行速度v 与距离d 的关系，H 0为目前的哈勃常数）
0v H d
=(4)宇宙尺度因子R 与宇宙学红移z 的关系（宇宙学量的下标0代表当前值）
01R z R
+=宇宙尺度因子常用归一化的无量纲变量0/a R R ≡表示，取01a =。

(5)哈勃常数的定义式
R a H R a
≡= (6)宇宙临界密度
2
38c H G
ρπ≡(7)宇宙减速因子（宇宙膨胀时的“减速度”）
2RR q R
≡- q 为正代表宇宙减速膨胀，q 为负代表宇宙加速膨胀。

(8)弗里德曼方程
22833G Λk H R
πρ=+-该式适用于均匀、各向同性的宇宙，式中Λ是与暗能量有关的宇宙学常数，宇宙曲率k 取值为0、±1，密度ρ包括物质密度ρm 和辐射密度ρr 。

平直宇宙的曲率k =0，宇宙当前是物质为主，辐射密度ρr 0可忽略不计。

可将其写作1m r Λk ΩΩΩΩ=+++的形式，其中宇宙密度参数为物质密度参数m m c Ωρρ=和辐射密度参数r r c
Ωρρ=，宇宙学常数参数为ΩΛ，宇宙曲率参数为Ωk 。

对于平直、物质为主的宇宙，当前时刻有1m ΛΩΩ=+。

(9)物质密度ρm 、辐射密度ρr 、背景辐射温度T 与红移z 的关系
3
04
00(1)(1)(1)
m m r r z z T T z ρρρρ=+=+=+(10)宇宙尺度因子a 随时间t 变化的近似关系
1/2a t ∝（辐射为主）或2/3a t ∝（物质为主）
9.其他
(1)史瓦西半径（史瓦西黑洞的视界半径）
2
2GM
R c =(2)黑洞的温度（约化普朗克常数/2h π= ，玻尔兹曼常数k ，黑洞质量M ）
38c T kGM
π= (3)引力透镜（光线的路径与天体中心的垂直距离为b ，偏转角为θ）
2
4GM
bc θ=(4)引力红移（在无限远处观察一个从距离天体r 的位置处发射的光子）
1/22
2(1)1GM z rc -=--当21GM rc 时，2
GM z rc =。