• 例1：构建如图16.1分段线性的非线性特性模块。
(3,1) (4,1) (-1,0) (2,0) (-3,-1) (-2,-1)
图16.1 例1非线性特性
1.新建一个空白模型。在模型中添加子模块集Lookup Tables中 的Lookup Table模块。 2.设置模块属性。双击Lookup Table模块进入其属性设置窗口， 如图16.2，并添加非线性特性值。其中，Vector of input values栏为横坐标向量，而Table data栏为纵坐标向量。需要 注意的是，如果仅添加了图中的所有转折点坐标，则位于最左 侧与最右侧外边的特性将无法表现。因此还应该在特性曲线的 两侧再找两点，从而完整地表现非线性特性。根据非线性函数， 位于最左侧转折点(-3，-1)之外的点取为(-4，-2)，位于最右侧 转折点(4，1)之外的点取为(5，2)。
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
图16.11 例3输出的相轨 迹
• 系统阶跃响应输出如图16.12所示。
图16.12 系统阶跃响应输出
由16.11分析可知，系统的稳定点在(1,0)点，即稳态值为1。
16.4 描述函数法
16.4.1 描述函数法概述 P.J.Daniel于1940年首先提出了描述函数法。非线性特性的 描述函数法是线性部件频率特性在非线性特性中的推广。 它是对非线性特性在正弦信号作用下的输出进行谐波线性 化处理之后得到的，是非线性特性的一种近似描述。
inrease
decrease
simout To Workspace
>= Sine Wave Relational Operator Memory Scope Switch
图16.7 例2非线性特性在正弦输入的Simulink模型
• 本例给定输入为正弦信号，其幅值分别设为2、 4，其输出可以用示波器模块直接观察，也可 以输出到工作空间后，使用plot函数绘制。其 Simulink模型如图16.7。本例输出到工作空间 变量名设为simout，其保存格式设为Array， 在命令窗口使用plot函数绘制，运行结果如图。 >> plot(tout,simout(:,1),tout,simout(:,2))
2
0
很小，则非线性环节的输出近似为
y (t ) Y1 sin(t 1 )
• 可见，其近似结果和线性环节频率响应形式相似，依 照线性环节的频率特性的定义，非线性环节的输入输 出特性可由描述函数表示：
N ( A) N ( A) e
jN ( A)
B1 jA1 Y1 j1 e A A
(3,2)
(2,2)
(-1,0) (2,0)
(-2,0) (1,0)
(-2,-2)
(-3,-2)
(a) 输入上升分支
(b) 输入下降分支
图16.4 特性分解后的两个单值函数
输入上升分支
输入下降分支
1 In 1
>= Relational Operator Memory Switch
1 Out1
ห้องสมุดไป่ตู้
图16.5 例2非线性特性的Simulink模型
16.1 非线性系统概述
• 含有非线性元件或环节的控制系统称为非线性控制 系统。
• 一般非线性系统的数学模型可表示为： d n x(t ) d n 1 x(t ) dx(t ) d mu (t ) F[ , ,..., , x(t ), ,..., u(t )] 0 n n 1 m dt dt dt dt 写成多变量的形式为：
N ( A)

1 被 N ( A)
G( j )
包围，则系统是不稳定的系统。
G( j )包围的区域称为不稳定区域，不包围的区域称为稳定区域。
1 沿着 G( j) ，则在交点处，若 N ( A) A 值增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，则自激振荡是稳 定的，否则，自激振荡是不稳定的。
1 如果 N ( A) 与
n 1 n 1
其中，为直流分量，和是第n次谐波的幅值和相角， 且有
An
Bn

1
0
1
2
0
y (t ) cos ntd (t ), n 0,1,...

2
y(t )sin ntd (t ), n 1, 2,...
2
An Yn An Bn , n arctan Bn 若 A 0 ，且 n 1 Yn 时
1. 描述函数法的定义： 设非线性环节的输入输出关系为 非线性环节输入正弦信号

x(t ) A sin(t )

y f ( x)
非线性环节的输出通常也为周期信号，可以分解为傅立叶级数
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) A0 Yn sin(nt n )
图16.2 非线性特性属性设置窗口
例2：构建如图16.3的回环非线性特性模块。
(2,2) (3,2)
(-2,0) (-1,0) (1,0) (2,0)
(-3,-2) (-2,-2)
图16.3 例2非线性特性
• 分析：该特性在输入信号增加时走一条折线，而在输入信号减小 时走另一条折线。可以将特性分解为两个单值函数。如图16.4。 • 根据例1的结果，这两个单值函数都可以用查表模块实现。这里 有两个问题需要解决。一是如何判断输入是增加还是减小？在判 断输入信号是否为增加时，可通过比较输入信号的当前值和它的 上一步值进行判断。而Simulink离散模块组中提供的Memory模 块，可以用来记忆上一个计算步长的信号值，这样将输入信号的 当前值和它的上一步值分别作为比较模块(Relational Operator) 的输入，即可输出代表上升还是下降的逻辑值1 和0。二是如何 控制特性曲线走不同折线？Simulink中的Signal Routing子模 块组中Switch模块，使用比较模块的输出作为输入控制，即可 使模块对输入信号的不同变化走不同折线。具体实现如图16.5：
MATLAB 与控制系统仿真实践
第16章 非线性控制系统分析
主要内容
• • • • 原理要点 非线性系统概述 相平面法 描述平面法
• 原理要点 • 非线性系统的研究方法由于系统的复杂性和多 样性而成为控制界的研究热点，从而产生了很 多理论方法。比较基本的有李雅普诺夫第二法， 小范围线性近似法，描述函数法，相平面法， 计算机仿真等等。
图16.10 仿真参数设置窗口
4.开始仿真。 相轨迹可以直接观察XYGraph输出，也可使用输出到工作空间的 参数绘制，如图16.11所示。
>> plot(simout(:,1),simout1(:,1)) >> grid
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1
对于非线性控制系统的描述函数分析方法，常用的负倒 描述函数为：
1 1 jN ( A ) e N ( A) N ( A)
对于如图16.13 的等效非线性系统， G( j ) 且 在开环幅相平面上无右半平面的极点，稳定性判据为： 1 不被 G( j ) 包围，则系统是稳定的，如果 如果
X (t ) f [ X (t ), U (t ), t ]

• 在F与f函数中，如果相应的算子为线性， 则称为线性系统，否则称为非线性系统。 如果不显含t，则为时不变系统，若显含t， 则称为时变系统。 • 非线性系统输出暂态响应曲线的形状与 输入信号的大小和初始状态有关，非线 性系统的稳定性亦与输入信号的大小和 初始状态有关。非线性系统常会产生持 续振荡。
• 相平面法是一种求解二阶以下线性或非线 性微分方程的图解方法。 • 对于形如下式的二阶系统

x f ( x, x ) 0

• 涉及的概念有： • 1. 相平面：以为横坐标，为纵坐标的直角坐标平面 构成相平面。 • 2. 相轨迹：以时间为参变量，由表示运动状态的分 别作为横坐标和纵坐标而绘制的曲线称为相轨迹， 每根相轨迹与起始条件有关。表示了质点在时刻的 位置和速度。 • 3. 相平面图：同一系统，不同初始条件下的相轨迹 是不同的。由所有相轨迹组成的曲线族所构成的图 称为相平面图。
16.2 非线性特性模块的构建及示例
• 典型的非线性特性有死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性、继电非线性等。Simulink给出了 部分非线性特性模块。这在Simulink一章中已 列出。在系统仿真中可以直接使用。但对于没 有提供的模块则需要我们自己构建。那么如何 根据需要构建任意的非线性模块呢？事实上， 任意的静态非线性模块，无论其是单值非线性， 还是多值非线性，都可以由Simulink构建，并 直接用于仿真。
10 s+4 Step Saturation Transfer Fcn
1 s Integrator
XY Graph
Scope
图16.9 例3的Simulink模型
• 3.设置仿真参数。如图16.10，将Solver options下的Type 项选为Fixed-step，Solver项选ode5(Dormand-Prince)， Fixed-step size 设为0.01。
1. 典型的非线性特性 典型的非线性特性有死区非线性、饱和非线性、间隙非线性、 继电非线性等。Simulink给出了部分非线性特性模块。用 户也可以自行构建非线性特性模块。 2. 非线性控制系统 含有非线性元件或环节的控制系统称为非线性控制系统。 非线性系统输出暂态响应曲线的形状与输入信号的大小和初 始状态有关，非线性系统的稳定性亦与输入信号的大小和 初始状态有关。非线性系统常会产生持续振荡。
3. 描述函数法 非线性特性的描述函数法是线性部件频率特性在非线性特 性中的推广。它是对非线性特性在正弦信号作用下的输 出进行谐波线性化处理之后得到的，是非线性特性的一 种近似描述。 4. 用描述函数研究系统的稳定点的方法 用描述函数研究系统的稳定点的方法，是建立在线性系统 Nyquist稳定判据基础上的一种工程近似方法。其基本思 想是把非线性特性用描述函数来表示，将复平面上的整 个非线性曲线()理解为线性系统分析中的临界点，再将线 性系统有关稳定性分析的结论用于非线性系统。