专题二 复数 1
一．基本知识 2
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【1】复数的基本概念 4
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方5
等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 6
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 7
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 8
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 9
（2）两个复数相等的定义： 10
00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 11
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； 12
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点13
坐标为(),p a b ；（象限的复习） 14
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模； 15
【2】复数的基本运算 16
设111z a b i =+，222z a b i =+ 17
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； 18
（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； 19
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

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（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 21
【3】复数的化简 22
c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母23 化为实数：()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 24
对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为25
c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 26
二． 例题分析 27
【例1】已知()14z a b i =++-，求 28
（1） 当,a b 为何值时z 为实数 29
（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数 30
（3） 当,a b 为何值时z 为虚数 31
（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

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【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 34
A ．1-
B ．0
C 1
D ．1-或1 35
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【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z 37
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【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅； 39
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【变式1】复数z 满足21i z i -=-，则求z 的共轭z 42
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【变式2】已知复数z =z z •= 44 A. 14 B.12
C.1
D.2 45
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【例4】已知12z i =-，232z i =-+ 47
（1） 求12z z +的值； 48
（2） 求12z z ⋅的值； 49
（3） 求12z z ⋅. 50
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【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模. 53
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【变式2】若复数()21ai +是纯虚数，求复数1ai +的模. 55
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【例6】若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位）， 58
（1） 若z 为实数，求a 的值 59
（2） 当z 为纯虚，求a 的值. 60
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【变式1】设a 是实数，且112a i i -++是实数，求a 的值.. 63
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【变式2】若()3,1y i z x y R xi +=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 66
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【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限 69
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【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) 72
A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1 73
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【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）75
（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 76
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【变式3】i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是79 （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）1580
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84 【例8】复数73i z i -=+= （ ） 85 （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 86
87 88
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【变式4】已知i 是虚数单位，32i 1i =- （ ） 90
Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i -- 91
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【变式5】已知i 是虚数单位，复数131i i --= （ ） 95
A.2i +
B.2i -
C.12i -+
D.12i -- 96
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【变式6】已知i 是虚数单位，复数1312i i -+=+（ ） 100
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 101
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【变式7】已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ） 104
(A)1- (B)1 (C)i - (D)i 105
106
107。