The Numerical Solution of A Partial Differential Equation
WU Zhong-huai
( Department of Electrical and Mechanical Engineering,Y ueyang Vocational and Technical College Yueyang 414000,China)
∫ ai (0) = u0 (xi ) =
i (1− i ), NN
t
1
L [ 0 (t − s)2 ai (s)ds] =
π z
ϕi
(z)
.
对(7)取拉氏变换, 则得全离散矩阵
⎛ ⎜
2z
+2
π N
⎜ 3N
z
⎜ ⎜
z−
π N
⎜ 6N z
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝
z−
π N
6N z
2z + 2
π N
3N
z
%
z−
参考文献
[1] D.L.Jagerman. An Inversion Technique for the Laplace Transform with Application to Approximation[J]. B.S.T.J., 1978, (3): 669~710 [2] D.L.Jagerman. An Inversion Technique for the Laplace Transform[J]. B.S.T.J.1982, 61(8): 1995~2002 [3] 傅凯新, 黄云清, 舒 适. 数值计算方法[M]. 长沙：湖南科学技术出版社, 2002 [4] 林 群. 微分方程数值解法基础教程[M]. 北京：科学出版社, 2001 [5] P.P.Korovkin. Linear Operations and Approximation Theory[M]. New York: Gordon and Breach, 1960 [6] W.McLean, V.Thomee. Time Discretization of an Evolution Equation via Laplace Transforms[J]. AMR, 2003, (7): 1~27
积分项, 从而得到一个偏积分微分方程. 我们将研究下面一类偏积分微分方程的数值解[1,2]：
∫ ⎧⎪⎪⎨uut((tt,,0x))=−u
t (t − s)−1/
0
(t,1) = 0,
2 uxx (s, x)ds (0 < t < T )
=
f (t, x),
(1)
⎪⎪⎩u(0, x) = u0. (0 < x < 1)
(6)
将(3) ~ (6)式代入(2)中的第一式, 且取 v(x) = φ j (x) 并矩阵化可得：
⎛2
⎜ ⎜
3N
⎜1
⎜ ⎜
6
N
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝
1
6N 2
3N %
1 6N %
1 6N
% 2 3N 1 6N
⎞
⎟
1 6N
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a1′( z )
a
′
2
(上接第 6 页)
2 结束语
计算方幂和是一个著名的古典代数问题, 随着组合数学的发展, 目前很多人对它进行深入地研究, 有 关方幂和的各种计算法, 经常散见于各类数学刊物中. 本文从具体的方幂和问题着手, 研究了如何确定方 幂和组成的数列中指定位置项的值, 给出的两种算法中, 运用转换思想得到的转换法相对于直接法而言 更加的直观简洁.
取 N=6,
ai (t) ≈
(−1)n n!
z
n
ϕ +1 (n) i
(
z
)
z = n+1
( i = 1, 2,",5 ) .
t
首 先 u(0.2, 0.2) = 0.1743 ,
利用
mathematical
软件编程,
求
出
ϕ (n) i
(z)
(n = 1, 2,") , 将 结 果 代 入
u(2, 0.2)
= 0, xN
= 1, h =
1 N
,
xi
=
i ,1 < i < N −1, N
则基函数为[4]
⎧⎪0,
⎪
⎪ ⎪
Nx
−
i
+
1,
φi (x) = ⎨
⎪⎪i +1− Nx,
⎪
⎪0,
⎩
x < i −1, N
i −1 < x < i
N
N
i < x < i +1,
N
N
x
>
i
+
1 .
N
u(s, x) = a1 (s)φh1 (x) + a2 (s)φh2 (x) + " + aN −1 (s)φhN −1 (x)
收稿日期: 2008-08-12 基金项目: 国家自然科学基金资助(10271046) 作者简介: 吴忠怀(1962- ), 男, 湖南岳阳人, 硕士, 岳阳职业技术学院机电工程系副教授. 主要研究方向：计算数学
12
湖南理工学院学报(自然科学版)
∫ ∫ ∫ ∫ ⎧⎪
⎨
1
0 ut (t, x)v(x)dx +
应的数值解.
6
0.0529 0.0718 0.0792 0.0816 0.0885 0.0886
0.1214 7 0.1025 8 0.0951 9 0.0927 10 0.0858 11 0.0857 12
0.1041 0.1139 0.1218 0.1281 0.1339 0.1383
0.0702 0.0604 0.0525 0.0461 0.0404 0.036
(
z
)
⎞ ⎟ ⎟
a
′
3
(
z
)
#
⎟ ⎟ ⎟
a
′
N
−1
(
z
)
⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
2N −N
2⎟
⎟
3N ⎠
−N 2N %
−N % −N
% 2N −N
⎛
∫ ⎜
∫∫ ∫∫∫ − N
2N
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
∫ ∫ ⎜⎜⎝
t
−1
⎞
(t − s)
0
2 a1 ( s )ds
13
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
(2 + 3 − 7 ) π N 2N2 4N3 3
Z2
⎞ ⎛2
⎟ ⎟
⎜ ⎜
3N
⎟ ⎜1
⎜ ⎜ ⎜
(2 +
6
−
25 )
π
N N2 4N3 3
Z2
⎟ ⎟ ⎟
+
⎜ ⎜ ⎜
6N
⎜ ⎜
#
⎟⎜ ⎟⎜
⎜ ⎜(
2
+
3( N
− 1)
−
6( N
− 1)2
+ 1)
π
⎟ ⎟
⎜ ⎜
⎜⎝ N 2N 2
4N3
两边取积分
t
−1
∫ ut (t, x)u(x) −
(t − s)
0
2 uxx (s, x)v(x)ds =
f (t, x)v(x) .
整理得
1
1t
−1
1
∫ ∫ ∫ ∫ 0 ut (t, x)v(x)dx −
0
(t − s)
0
2 uxx (s, x)v(x)dsdx
=
f (t, x)v(x)dx .
0
≅
(−1)n n!
s
n
ϕ +1 ( i
n)
(s)
s = n+1
,
求得其近似值和误差见表 1.
2
4 结论
n
N=6
表 1 u(0.2,0.2)的近似值和误差
误差
n
N=6
误差
我们看到用拉普拉斯变换数值逆对一个 1
偏积分微分方程进行数值求解. 计算结果有
2 3
很高的精度. 这种方法计算比较简便, 还可 4
以根据精度的要求选取适当的 n 就能算出相 5
Key words: Laplace transform; inversion technique; finite element; partial differential equation
微分能描述一个系统在某一固定时刻的状况, 它不能反映过去效果的积累. 但在热传导、原子反应、
动力学和热点理论中, 它们常常反应系统的“记忆”功效, 这就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个
x)φ3 ( s)dx
பைடு நூலகம்
⎟ ⎟
#
⎟
⎟
1 0
f
(t,
x )φ N
−1 ( s ) dx
⎟ ⎠
(7)
3 用拉普拉斯变换的数值逆对 t 方向半离散
∫ 记 ai (t) 的拉氏变换为 ϕi (z) ,
即ϕi (z) =
∞ 0
ai
(t
)e
−
zt
dt
,
可知
L [ai′(t)]