第七章线性变换与相似矩阵习题 7.1习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。

因对于，有，，所以。

（Ⅱ）；解：是的线性变换。

设，其中，，则有，。

（3）在（Ⅰ）解：是中，，的线性变换：设，则，，。

（Ⅱ）解：是，其中的线性变换：设是中的固定数；，则，，。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数；解：不是线性变换。

因为取，时，有，即。

，其中是的，（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。

解：是的线性变换。

对，，有，。

习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。

证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，，；；，，，，即，故。

因为因为，，所以，，所以。

因为，，所以。

习题 7.1.3 在中，，，证明。

证明：在中任取一多项式，有。

所以。

习题 7.1.4 设，是上的线性变换。

若，证明。

证明：用数学归纳法证明。

当时，有命题成立。

假设等式对成立，即。

下面证明等式对也成立。

因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。

证明：（进而（2）因1）设，都是都是的逆变换，则有，。

即的逆变换唯一。

上的可逆线性变换，则有。

，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。

习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。

证明，，，线性无关。

证明：设，依次用可得，得，而，故即得；同理有：；依次类推可得，即得，得，，进而得。

有定义知，，，线性无关。

习题 7.1.7 设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为证明：两端用若任取既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。

已知是可逆线性变换，即存在。

若，则作用即得，因此是单射线性变换。

，则存在，使得，即是满射线性变换。

已知义新的变换：既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。

现定，定有，且有，规定，有，同时有，即有。

由定义知是可逆线性变换。

习题 7.1.8 设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为；（ 2）是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

证明：（1）已知是单射线性变换，对，则有，由单射得，即。

已知，若，则有，得，即得，故是单射。

（ 2 ）已知是单射线性变换。

设线性无关，现证也线性无关。

令，整理有，而是单射，有，已知线性无关，所以，故也线性无关。

已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

若，则有，并一定有。

否则若，则说明向量线性无关，而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。

而由可得，即是单射线性变换。

习题 7.1.9 设是中全体可逆线性变换所成的子集，证明关于线性变换的乘法构成一个群。

（超范围略）习题 7.1.10 设，是上的线性变换，且证明（1）若，则；（2）若，则。

证明：（ 1）因为，。

所以，从而或。

又因为。

故。

（2）因为，，所以。

习题7.1.11 设与分别是数域上的维与维线性空间，是的一个有序基，对于中任意个向量，证明存在唯一的线性映射，使，。

证明：先证明存在性。

对任意的，有唯一的线性表达式我们定义显然有，。

现验证为到的一个线性映射。

（ 1）对任意的向量，因为，由定义得。

（ 2）对任意的，因为，由定义得。

所以为到的一个线性映射。

再证唯一性：若另有到的一个线性映射，也使得，。

则对任意向量，一定有。

由在中的任意性，可得。

习题7.1.12 设与分别是数域上的维与维线性空间，是线性映射。

证明是的子空间，是的子空间。

又若有限，证明。

这时称为的零度，称为的秩。

证明：（ 1）先证与分别为与的子空间，对，，有，所以，故为的子空间；同理，对，，则，使，，所以所以为的子空间.（2）再证因有限，不妨设，，在中取一个基，再把它扩充为的一个基，则是像空间的一个基 .事实上，对，存在，使得。

设，则有即中的任意向量都可由线性表示。

现证向量组线性无关：设，有，所以向量线性表示，进而有，即可由向量组，整理有，又因线性无关，所以必有线性无关，即为，因此的一个基，故。

习题7.1.13 证明关于定义7.1.12 中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。

证明：现证明定义7.1.12 中所定义的线性映射的加法量乘法都是从到的线性映射。

事实上，对，，有与数故为到的线性映射。

同理，对，，有，，故为到的线性映射。

另外线性映射的加法与数量乘法（1）结合律：；显然满足：（2）交换律 :；（3）存在零线性映射，对，有；（4）对，有负线性映射，使得；（5）；（6）；（7）；（8）。

其中，所以关于定义 7.1.12 中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。

习题 7.1.14 证明：。

证明：设为维线性空间，为维线性空间，即，。

取定的一组基和的一组基。

令为到的如下映射：，其中为在基与基下的矩阵。

这样定义的是到的同构映射。

事实上，（1）若，，且，则有，。

由于，对每一个都有，故有，即是单射。

（2），令。

则存在唯一的线性映射使得，并且由此可见，是满射。

（ 3）对，，有，，其中即有，，所以，故有，所以是到的同构映射。

进而有。

习题 7.2习题 7.2.1 求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵：（1）的线性变换，，其中为固定矩阵。

求（2）设，在这个基下的矩阵；是线性空间的线性变换，求在基下的矩阵；（3）6个函数：，，，，的所有实系数线性组合构成实数域上一个在基下的矩阵。

解：（ 1）由，的定义直接可得：，6 维线性空间。

求微分变换，，，。

所以在这个基下的矩阵为。

，，，。

所以在这个基下的矩阵为。

（2）由直接可得：，，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。

所以在基下的矩阵为：。

（3）由微分运算性质直接可得：，，，，，。

所以微分变换在基下的矩阵为：。

习题 7.2.2 设是的一个基，，，，。

已知线性无关。

证明：（1）存在唯一的线性变换，使，；（2）（ 1）中的在基下的矩阵为；（3）（ 1）中的在基下的矩阵为。

证明：（ 1）因为线性无关，所以也是的一个基。

故对的一个基及个向量，定存在唯一的线性变换，使，。

（2）由已知条件有，，其中与都是的基，所以可逆，且有，进而有。

再由（1）得，所以在基下的矩阵为。

（3）类似有，所以在基下的矩阵为。

习题 7.2.3 在中，定义线性变换为，，，其中，，。

（1）求在基下的矩阵；（2）求在基下的矩阵。

解：（ 1）由定义知，，所以有。

故在基下的矩阵为：。

（2）类似有。

故在基下的矩阵为：。

习题 7.2.4 在中，线性变换在基，，下的矩阵是。

求在基下的矩阵。

解：已知，，则有。

即在基下的矩阵为：。

习题 7.2.5 设数域上3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为（ 1）求在基下的矩阵；（ 2）求在基下的矩阵；（ 3）求在基下的矩阵。

解：（ 1）由已知可得，，。

所以在基下的矩阵为：。

（ 2）由已知可得，，。

所以在基下的矩阵为：。

（ 3）由已知可得，，。

所以在基下的矩阵为：习题7.2.6 在维线性空间。

中，设有线性变换与向量使，但。

证明：在中存在一个基，使在该基下的矩阵为。

证明：由习题7.1.6 知：维线性空间的向量组，，，线性无关，且有个向量，即构成的一组基，而线性变换作用此基有：，，⋯⋯⋯⋯⋯，。

故在基，，，下的矩阵为：。

习题 7.2.7 设是数域的数域上的线性空间，试求求证：任取的一组基，其中上维线性空间的全体线性变换组成，并找出中的一个基。

，令为到的映射：。

由引理 7.2.6 及定理 7.2.7知为同构映射，即。

所以它们的维数相同，而，故。

现取，，使得，即，。

已知，是的一组基，故，为的一组基。

习题 7.2.8 证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换。

证明：在某组确定的基下，数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射，因为与一切阶方阵可交换的方阵为数量矩阵，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换。

习题 7.2.9 设是维线性空间的一个线性变换，如果在的任意一个基下的矩阵都相同，则是数乘变换。

证明：设在基下的矩阵为，只要证明为数量矩阵即可。

设为任意可逆矩阵，令，则也是的一组基，且在这组基下的矩阵为，依题意有。

特别地，当取时，计算可得。

再取，由可得，即为数量矩阵，所以是数乘变换。

习题 7.2.10 证明：与相似，其中证明：用基是的一个排列。

依次表示这两个矩阵，取一个维线性空间，对于矩阵，存在的线性变换，使得及其一组，由此可得。

因为与是在不同基下的矩阵，所以与相似。

习题 7.2.11 如果可逆，证明与相似。

证明：因为，所以与相似。

习题 7.2.12 如果与相似，与相似，试判断下列叙述是否正确？如果不正确，请举反例，否则给出证明。

（1）与相似；（2）与相似；（3）与相似。

答：（ 1）正确。

证明：由于与相似，与相似，因此存在可逆阵，，使得，，从而有，其中，所以与相似。

（2）不正确。

反例：设，，则有，使，，即，故与相似；再取，则与显然相似。

但，。

设，且满足，即，计算得，即得，故不可逆。

所以与不相似。

（3）不正确。

反例：取同（2），有，，两矩阵秩不同。

显然，与不相似。

习题 7.3习题 7.3.1 设是数域上线性空间，是的线性变换。

如果是的特征值，则对任意多项式，是的特征值，且的属于的特征向量也是的属于的特征向量。

证明：设为的属于的特征向量，即，则对任意自然数，有。

事实上，当时，显然成立。

假设时，有成立。

现证时也成立，即。

故由数学归纳法得式对任意自然数均成立。

设，则有，即。

习题 7.3.2 对复数域上线性空间上的下述线性变换，求出它的特征值与特征向量，判断是否可以对角化，在可对角化时，求出过度矩阵，并计算。

已知在的一个基下的矩阵为（1）；（2）；（3）；（4）。

解：（ 1）设在基下的矩阵为，矩阵的特征多项式为。

所以的特征值为，。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为。

可以对角化。

取的两个线性无关的特征向量，，即，其中为由基到基的过渡矩阵。

且有。

（ 2）设在基下的矩阵为，且当时，有，于是矩阵的特征多项式为，所以的特征值为。

求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为的两个线性无关的特征向量为，，所以，因为的属于特征值以中任意非零向量为其特征向量。