第 1 页 ，共 20 页目 录1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明2.4对称性原理及其在电磁学中的应用3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结(a) 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度 (b) 注意ξint∑⎰=•qdS E s中 E 和 dS 的矢量性(c) 正确理解定理中的∑intq(d) 不能只从数学的角度理解ξint∑⎰=•qdS E s(e) 对高斯面的理解 4 高斯定理的应用⋅4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6结束语 参考文献高斯定理在电磁学中的应用摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。

本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。

最后把高斯定理推广到万有引力场中去。

关键词：高斯定理，应用，万有引力场 引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。

虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。

1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 所围成，若函数,,P Q R 在V 上连续，且有一阶连续函数偏导数，则SV P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 1－1其中S 的方向为外发向。

1－1式称为高斯公式[1]。

1.2静电场的高斯定理一半径为r 的球面S 包围一位于球心的点电荷q ，在这个球面上，场强→E 的方向处处垂直于球面，且→E 的大小相等,都是204q E r πε=。

通过这个球面S 的电通量为oo o oεππεπεπεφqr r qdS r q dS r qS d E ssse=⋅==⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→22224444其中SdS ⎰⎰是球面积分，等于24r π。

从此例中可以看出，通过球面S 的电通量只与其中的电量q有关，与高斯面的半径r 无关。

若将球面S 变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为0q ε。

若闭合曲面S 内是负电荷q -，则→E 的方向处处与面元→S d 取相反，可计算穿过S 面的电通量为0/q ε-。

若电荷q -在闭合曲面S 之外，它的电场线就会穿入又穿出S 面，通过S 面的电通量为零[2]。

如果闭合面S 内有若干个电荷123,,n q q q ……q ，由场强叠加原理可知，通过S 面的电通量为∑∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰-→-→→-→→→=⋅=⋅=⋅=ni ini si s ni i se qS d E S d E S d E 1111oεφ此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的0ε分之一，这就是真空中的高斯定理。

通常把闭合曲面S 称为高斯面，对于连续分的电荷，电荷体密度为ρ，则上式可以表述为⎰⎰⎰=⋅=→→Vs e dV S d E ρεφo11.3磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。

如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。

这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。

用式子表示：0=⋅→→⎰⎰S d B s与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。

在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N 极和S 极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场[2]。

2 高斯定理的证明 2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的高斯定理静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a)点电荷在球面中心，点电荷q 的电场强度为→→⋅=r r q E 341o πε球面的电通量为oo o o εππεπεπεqr r dS r S d r r q S d E sss =⋅⋅==⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→222344141412－1(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面S 的通量为zdxdy r ydxdz r xdydz r qzdxdy ydxdz xdydz r qS d r r q S d E ssss 333331114)(1441++=++=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→o o o πεπεπε 2－2根据高斯公式()SV P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 2－3并考虑到333,,x y z P Q R r r r===在S 内有连续一阶偏导数，故2－2式可2－2式代入2－3式得041114)(144133333333=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=++=++=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→dxdydz zr z yr y x r x q zdxdy r ydxdz r xdydz r q zdxdy ydxdz xdydz r q S d r r q S d E Vssss oo o o πεπεπεπε(c)点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面S 内以点电荷q 为球心作一辅助球面1S ，其法向朝内，根据2－1式可知点电荷q 在闭曲面1S S +的电通量为零，即：1=⋅+⋅→→→→⎰⎰⎰⎰S d E S d E s soεqS d E S d E S d E s s s=⋅-=⋅-=⋅→→→→→→⎰⎰⎰⎰⎰⎰212－4其中式2－4中1S 和2S 大小相等，法向相反。

(d)点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为23,,n q q q q ……；闭曲面外的点电荷为1n q +……；根据上述讨论可得∑∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰--→→→-→→→=⋅=⋅=⋅ni ini si s ni isqS d E S d ES d E 1111oε这就是静电场中的高斯定理[3]。

2.1.2磁场的高斯定理磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)电流元→l Id 在球面中心由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律24r r l Id B d →→→⨯⋅=o o πμ为了方便，把→B d 简写为→B ，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为→→→→→→→→⋅⨯=⋅⨯⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰l d r S d r IS d r r l Id S d B sss 2244o o o o πμπμ因为→→S d r //o，所以0=⋅→→⎰⎰S d B s(b)电流元→l Id 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为⎰⎰⎰⎰→→→→→⋅⨯⋅=⋅ss S d r r l Id S d B 24o o πμ因为→→→→++=k z j y i x r ，并设→=k dl dl ，则→→→+-=⨯j dl x i ydl r dl代入原式得 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⋅⨯⋅=⋅→→→→→ss s dxdz r x dydz r y l Id S d r r l Id S d B )(44222πμπμo o 根据高斯公式()SV P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰同理可得 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-=⋅⨯⋅=⋅→→→→→ss s dxdz r x dydz r y l Id S d r r l Id S d B 0)(44222πμπμo o (c)电流元→l Id 在任意闭曲面内以此类推，在闭曲面S 内，以电流元为球心作一辅助球面1S ，因为1=⋅+⋅→→→→⎰⎰⎰⎰S d B S d B s s所以01=⋅-=⋅→→→→⎰⎰⎰⎰S d B S d B s s(d)电流元Idl 在闭曲面上由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即0=⋅→→⎰⎰S d B s这正是磁场的高斯定理[4]。

2.2高斯定理的直接证明图1如图1所示，电荷量为Q 的带电体中任一点处的电荷密度为⎪⎭⎫⎝⎛→1r ρ,则由电场强度定义知该带电体在空间→r 点产生的电场强度为13114dV R R r E V →→→⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰o περ 2－5式中为→1r 原点位矢，→→→-=1r r R 为原点到场点的位矢。

将→E 对任意闭合曲面S 求面积分，即得1dVE S d E sV→→→⎰⎰⎰⋅∇=⋅ 2－6由2－5式可得1341dV R Rr E →→→→⎪⎭⎫⎝⎛⋅∇=⋅∇ρπεo 由于算符∇是对→r 的微分算符，与→1r 无关，故 o o o o o ερδρεπδρπερπερπε⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∇→→→→→→→→→→→→⎰⎰⎰⎰1111111211311111144114141r dV r r r dV R r dV R r dV R R r E V V V V 2－7 式中最后一步用到了δ函数的筛选性，将式2－7代入式2－5中得：⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⋅→→→VsdV r S d E oερ1(1)当电荷Q 包含在闭合曲面S 内时，则 ⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅→→→VsQ dV r S d E oo εερ1(2)当电荷Q 的不包含在闭合曲面S 内时，则⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅→→→VsQ dV r S d E oo εερ01由此高斯定理得证。

2.3高斯定理的另一种证明图2如图2所示，设有一电量为q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意r 为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为→→⋅=r rq E 34o πε方向沿径向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。