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人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习
∴∠BAC=75°. 当两弦共弧的时候就是 15°. 故选:C. 【点睛】 此题考查垂径定理,特殊三角函数的值,解题关键在于画出图形.
10.如图,在扇形 OAB 中, AOB 120 ,点 P 是弧 AB 上的一个动点(不与点 A 、 B 重合), C 、 D 分别是弦 AP , BP 的中点.若 CD 3 3 ,则扇形 AOB 的面积为( )
A.12
B. 2
C. 4
D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
如图,作 OH⊥AB 于 H.利用三角形中位线定理求出 AB 的长,解直角三角形求出 OB 即可
解决问题.
【详解】
解:如图作 OH⊥AB 于 H.
∵C、D 分别是弦 AP、BP 的中点. ∴CD 是△APB 的中位线,
∴AB=2CD= 6 3 ,
A.2+ 3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
B.2 3
C.3+ 3
设 AC=x,在 Rt△ABC 中,∠ABC=30°,即可得 AB=2x,BC= 3 x,
所以 BD=BA=2x,即可得 CD= 3 x+2x=( 3 +2)x,
在 Rt△ACD 中,tan∠DAC= CD ( 3 2)x 3 2 ,
A.asinα+asinβ
B.acosα+acosβ
C.atanα+atanβ
D.
a tan
a tan
【答案】C 【解析】
【分析】
在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中,由三角函数得出 BC=atanα,BD=atanβ,得出 CD=BC+BD=
atanα+atanβ 即可.
【详解】
在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中,AB=a,tanα= BC ,tanβ= BD ,
7.某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求,游客可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道 BC 的坡度(或 坡比)为 i=1:2,BC=12 米,CD=8 米,∠D=36°,(其中点 A、B、C、D 均在同一 平面内)则垂直升降电梯 AB 的高度约为( )米.(精确到 0.1 米,参考数据: tan36°≈0.73,cos36°≈0.81,sin36°≈0.59)
【答案】A 【解析】 设 MN=xm, 在 Rt△BMN 中,∵∠MBN=45∘, ∴BN=MN=x,
在 Rt△AMN 中,tan∠MAN= MN , AN
∴tan30∘= x =3√3, 16 x
解得:x=8( 3 +1), 则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m;
故选 A. 点睛:本题是解直角三角形的应用,考查了仰角和俯角的问题,要明确哪个角是仰角,哪 个角是俯角,知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角,俯角是向下看的视线与水平线的 夹角,并与三角函数相结合求边的长.
定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键.
12.已知圆锥的底面半径为 5cm,侧面积为 60πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为 θ,则 sinθ 的值为( )
A. 3 13
【答案】C 【解析】 【分析】
B. 5 13
C. 5 12
D. 12 13
先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长,再利用扇形面积公式 S 1 lr 可 2
考点:1.垂径定理;2.圆周角定理;3.勾股定理;4.锐角三角函数定义.
3.同学们参加综合实践活动时,看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角,其作法 是:如图: (1)作线段 AB,分别以点 A,B 为圆心,AB 长为半径作弧,两弧交于点 C; (2)以点 C 为圆心,仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D; (3)连接 BD,BC. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )
由作法得 CA=CB=CD=AB,故 B 正确;
∴点 B 在以 AD 为直径的圆上,
∴∠ABD=90°,故 A 正确;
∴点 C 是△ABD 的外心,
在 Rt△ABC 中,sin∠D= AB = 1 , AD 2
∴∠D=30°,∠A=60°,
∴sinA= 3 ,故 C 正确;cosD= 3 ,故 D 错误,
6.如图,从点 A 看一山坡上的电线杆 PQ ,观测点 P 的仰角是 45,向前走 6m 到达 B 点, 测得顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60 和 30 ,则该电线杆 PQ 的高度( )
A. 6 2 3
B. 6 3
C.10 3
D.8 3
【答案】A
【解析】
【分析】
延长 PQ 交直线 AB 于点 E,设 PE=x 米,在直角△APE 和直角△BPE 中,根据三角函数利用 x
AB
AB
∴BC=atanα,BD=atanβ,
∴CD=BC+BD=atanα+atanβ, 故选 C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题;由三角函数得出 BC 和 BD 是解题的关键.
2.如图,△ABC 内接于半径为 5 的⊙O,圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3,则∠A 的正切值等 于( )
∵OH⊥AB,
∴BH=AH= 3 3 ,
∵OA=OB,∠AOB=120°, ∴∠AOH=∠BOH=60°,
在 Rt△AOH 中,sin∠AOH= AH , AO
AH ∴AO= sin AOH
3
3 3
6,
2
∴扇形 AOB 的面积为: 120 62 12 , 360
故选:A.
【点睛】 本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会 添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
A. 1 2
B. 2
C.1
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题.
【详解】
解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠A=2∠B,
∴∠B=∠C=45°,∠A=90°,
∴在 Rt△ABC 中,BC= AC = sin B
2 AC,
∴sin∠B•sadA= AC BC 1, BC AC
A.5.6
B.6.9
C.11.4
D.13.9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理,可得 CE,BE 的长,根据正切函数,可得 AE 的长,再根据线段的和差,可
得答案.
【详解】
解:如图,延长 DC、AB 交于点 E,
,
由斜坡轨道 BC 的坡度(或坡比)为 i=1:2,得 BE:CE=1:2. 设 BE=xm,CE=2xm. 在 Rt△BCE 中,由勾股定理,得 BE2+CE2=BC2, 即 x2+(2x)2=(12 )2, 解得 x=12, BE=12m,CE=24m, DE=DC+CE=8+24=32m, 由 tan36°≈0.73,得
11.如图,河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 ()
,堤高 BC=10m,则坡面 AB 的长度是
A.15m
B.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】Βιβλιοθήκη C.20mD.解:∵Rt△ABC 中,BC=10m,tanA=
,
∴AC= = =
m.
∴AB=
m.
故选 C.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股
∵AB=AE-BE=6 米,
则 x- 3 x=6, 3
解得:x=9+3 3 .
则 BE=3 3 +3.
在直角△BEQ 中,QE= 3 BE= 3 (3 3 +3)=3+ 3 .
3
3
∴PQ=PE-QE=9+3 3 -(3+ 3 )=6+2 3 .
答:电线杆 PQ 的高度是(6+2 3 )米.
故选:A. 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用,解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.
∴∠BAC=∠ACD,
∵cosα= 3 , AB 3 , 5 AC 5
∴AC= 5 4 20 .
3
3
故选:C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义,同角的余角相等的性质,熟记
各性质并求出 BC 是解题的关键.
9.在半径为1的 O 中,弦 AB 、 AC 的长度分别是 3 , 2 ,则 BAC 为( )度.
表示出 AE 和 BE,列出方程求得 x 的值,再在直角△BQE 中利用三角函数求得 QE 的长,则
问题求解.
【详解】
解:延长 PQ 交直线 AB 于点 E,设 PE=x.
在直角△APE 中,∠A=45°,
AE=PE=x; ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°
在直角△BPE 中,BE= 3 PE= 3 x, 33
A. 3 5
【答案】C 【解析】
B. 4 5
C. 3 4
D. 4 3
试题分析:如答图,过点 O 作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 OB,OC, ∵OB=5,OD=3,∴根据勾股定理得 BD=4.
∵∠A= 1 ∠BOC,∴∠A=∠BOD. 2
∴tanA=tan∠BOD= BD 4 . OD 3
故选 D.
5
A.3
B. 16
C. 20
D. 16
3
3
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC=∠
ACD,然后求出 AC.