5. 3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式要点透视：1•要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.2•遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件.3•线段的定比分点公式，要注意求定比分点A的值，以便顺利求出分点坐标.活题解析：例1. (2002年天津卷)平面直角坐标系中, O是坐标原点，已知两点A(3，1)，B( — 1, 3)，若点 C 满足 OC =aOA+POB，其中 a 氏 R 且 a+3=1，则点 C的轨迹方程是()2 2A. 3x+ 2y— 11 = 0B. (x— 1) + (y—2)=25C. 2x— y= 0 T D士+ 2 y— 5=0^要点精析：I 设OC =(x, y)，OA = (3, 1)，OB =(— 1,3)，T T T Ta OA=(3 a a， 3OB =( — 3, 3 3，又 aOA+ 3OB =(3 a— 3, a+3 3，I X =3*^ — P二(x, y)= (3a— 3 a+ 33，；$ n ,[y =a +3卩又a+ 3= 1,因此得x+ 2y= 5,所以选D .思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.I I例2. (2003年江苏卷)已知常数a>0,向量c=(0, a),i = (1, 0),经过原点 O以c+Xi为方向向量的直线与经过定点 A(0, a)以i — 2Xc为方向向量的直线相交于点P,其中疋R,试问是否存在两个定点E, F，使得|PE| + |PF|为定值？若存在，求出E, F的坐标；若不存在，说明理由.要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.解：根据题没条件，首先求出点P满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P到两定点的距离之和为定值.因为1=(° 0), c = (0, a),所以 c + xi =( X, a), i — 2 入c = (1, — 2 Xa).因此直线OP和AP的方程分别为?y=ax和y— a= — 2 Xx,消去参数入得点P(X, y)的坐标满足y(y — a)= — 2a 2x 2, x 2 (y-1)2 整理得二+— =18 (2)'因为a>0，所以得(1)当&=亚时，方程①表示圆，故不存在合乎题意的定点2[2(2)当 Ovav* 2 为合乎题意的两个定点； (3)当a^—时，方程①表示椭圆，焦点 E(0, 2 1 —))为合乎题意的两个定点。

2 时，方程①表示椭圆，焦点叫卜込，F (— 2卜2鳥)2^2 2 (a 十 T)和 F(0,—如图所示，平行四边形 ABCD 顶点A 的 坐标为(一2, 1), 一组对边AB, CD 的中点分别是 M(3, 0), N(— 1,— 2),求其余顶点坐标.例3. cA#X 要点精析：抓住平行四边形是中心对称图形，用中点坐标即可求解.解法1:设其余三个顶点B ，C ，D 的坐标分别为(XI, yi),(X2, y2), 因为M 是AB 的中点， (X3, y3)， —2+xi=3 『-8 < 2 ,解得 4 X ^ ,所以 B(8,— 1).ig r -o y —1L 2MN 的中点为 P(1,— 1),且P 是AC 中点，可得 C(4,— 3).J1 再由N 为CD 中点，可得D( — 6，— 1).所求顶点坐标为 B(8,— 1), C(4,— 3),D( — 6,— 1).解法 2 :设 B 点坐标(X, y),则 AM = MB ,即(5, — 1) = (x —3, y), X = 8解得《 ，所以B(8, — 1). l y = -1X-3=5I y = T 同理，由 AM=DN=NC,求得 C(4, — 3), D( — 6, —1).思维延伸：本题的两种解法体现了线段的定比分点坐标公式与向量坐标运算 的统一性.同时，还体现了向量坐标运算的优越性.E 和F;练习题 一、选择题 1.已知平行四边形三个顶点的坐标为(一1, 0), (3, 0), (1,- 5)，则第四点的 坐标为() A. (1, 5)或(5,- 5) C. (5, — 5)或(-3, — 5) 2 .在梯形 ABCD 中，AB//CD , B. (1, 5)或(—3,— 5) D . (1 , 5)或(—3, — 5)或(5,— 5) 且|AB |=?|DC 1(；^ 0).若 AB=i, 7D=b,则AC 等于() I I A.入a+ b I I B. a + 入b C.I 3.已知 a = (— 2, A. (-4, 10) I I5), |b|= 2|a|.若 b 与a 反向,I 则b 等于()B. (4,— 10)C. (— 1, -) D . (1 .—-)2 24•设点P( 2, 3)分有向线段RP 2所成之比为丄，点P1的坐标为(1, 2),贝U P2的坐标是() A. (2, 3)B. (5, 4)C. (4, 5)D. (5, 6) 5•已知△ ABC 的三个顶点 A(0, 分割成面积相等的两部分，则实数 A. 73 B. 1 +晅 2 3), B(3, 3), a 的值为( C.1鱼 3 C(2, 0).若直线 x=a 将^ ABC ) 6.在△ ABC 中，A( 0, 7), B(-4, 5),重心 G(0,7221 -),则^ABC 为() 37. 8. A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D .直角三角形 、填空题： 」 已知两个向量a=(3, 4), b=(2,— 1),若a+xb 与a — b 平行，则x= 11114 4 4 4■■I■已知A(— 3, 2), AB =( 8, 0),则线段AB 中点的坐标为 _______________ . I I ,11 II II I设a , b 是不共线的两个向量， 已知AB =2a+kb , BC = a + b , CD =a — 2b , 9. 若A, B, D 三点共线，则k 的值为 __________________ .10. 已知三点A(1, 1), B(2,— 4), C(x,— 9)共线，贝U x 的值是 三、解答题:I I I11.已知向量 a=(8, 2), b=(3, 3), c=(6，12), P=(6, 4).问：是否存在实数 x, y, z,同时满足下列两个条件：①P =xa+yb+zc,②x+y+ z= 1?如果存在, 请求出x, y, z 的值；如果不存在，请说明理由.12•如图所示，已知三点 A(X1, y1), B(x2, y2), C(X3, y3), D 点分AB 的比是-,E 在BC 上，且使△ BDE 的3面积是△ ABC 的一半，求向量DE 的坐标.鱼如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，BE//AC , AC=CE, EC 的延长线交BA 的延长线于 F 点，求证AF = AE 。

14. 运用向量的观点求cos 7 7715. 已知点 O( 0, 0), A( 1 , 2), B( 4, 5)及 OP = OA +1 AB ,试问:(1) t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限?(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 的值；若不 能，请说明理由。

空+cos 竺+cos 竺的值。

台匕2.[5.31导解，第四点的塑标有三个.导解，命所以花=AD+DC =卜+・#Mtfr=-2fl=-2X(-2.5) = (4U0).说明，本《是两个向量共线充宴条件的应用•利用AB 、BD «个向*共线就可以列出关于*的方程•这种用待定 系数法列方程(组)通过消元法解方程组的方法需很好隼^W ：AB=(I.-5),^=(j-l,-10), VAB 与花共线・：・—5(j —1) = —10■解得 x = 3- 11.解：因为■r<i+y* + 2C ・(8z + 3y+6N ・2jr+3y+12z)・p-(6.4)>所以 8j+3y+6z-6 且 2工+3，+12星-4・又才 += y.x=y»l 足条件.12.解個为D 点内分AB 的比为专.所以霭■$扇冲臥设E 分有向线段的比为5有麗"兽-宇嚴| ■隔■召|圈・IBCI 入1+^1 » —► 1 Q —► 1 —*Sg 专 IBDIlBEkin 皆号 X*|BA|命 IBCIsinA SAiwc* Y |BA| IBCIsin 件1 q > 1 » ] 1 ■ —► 所以yX^lEAl 命|BC|sinA*X*|BA||BCZn 弘所以所以2"2・4. 导-斗背且3-罕铮.得Pt(4,5).5. ^ttiyaXaXy-yX3X3Xy. Aa-A6.导解 *C 点的塑标为(4>-in,|AB|-yT6 + 4- ^20.7.IBCI = “64 + 256=・ IACI » 716+324= ^340, -1导]B*由两向•平行可知• 9.(1,2)导解；••线段AB 的中点的塑标为<1.2). -1导解：由巳知•必存在实数入•使而前《 就+U5-(<l+b 》+«<I-2b)-2a-儿•••2<I+*b-入(2a- fr)=^2Ao-Ah.于是2-2儿解得｛一严3-10. 3 y t «— I •解得 J — 2 •，一 36 •所以存在X — 2・y所以E 点的坐标为(空苧1,遥纽D 是AB 的内分点•且入一y ・所以丿D (帘，啥” 灵—(=2+2工,yi+2力)_( 3工1 +矶 3"+力1213.证明，以正方形ABCD 的边CD 所在直线为;r tt •以点C 为原点建立ft 角坐标系.设正方形的边长为1・«点A.B 的坐标分别为：(-1>1)和 (0.1). 若点 E 的坐标为(j.y)>BiJ^-=(j,y-l),AC=(U-l). 因为辰〃花•所以x(-l) + l(>-l)-0.又因为I 应I- I 花I.所以F+b-2. 解得E 点的坐标为(1：专匣.上尹). 如果点F 的坐标为(m. 1).由U 乍-(气匡，号i)共线得’气匣加一气匣-0■得F 点的坐标为,所以 |AF| = |AE| = 1+松.即 AE H AF.14-解；将边长是1的正七边形ABCDEFO ft 人宜角坐标系• 以 O 为原点.OA 为 H tt ，m OA - (!• 0). AB - f cos 竽.sin 竽)♦ BC(Ey.srny). DE = (cos y.siny), EF - (cos 器sin字)JS=(COS 字，3in ^).VOA-H A S + BC+CD+DE+^ + F 5=0./.a 些向■的横坐标之N H a ！ 2代. 4n , 6買 8貳, 和是0•即 1 + eos 〒-+ CO3 〒+co8 cos 〒 + gs 攀+ C8 字-0.由三角函ft 的诱导公式•可得in 6 穴 IO T 4X I2n 2K cos —«cos —•coft— •cos npNCOS —・J •上 rt 为 l + 2(cn^ 亨+co* 夢+ eo» 竽 g 升T+心升士*12(m ・1〉・CE因为布=(一1-7^0〉,旋=(进匣•二(】• 0) =0M,(nAB = (3.3>,OP=OA*/AB = <l + 3“2 + 3"•若P 5.2Sxtth»J2-t 3(-0.W»/--y.若F 左y « 上.則1+肪・0・解得若P在第二ft限•则解3 \2 + 3r>0 得-yV<-*(2)7UA-<b2),^-PO*c3-<3-3/,3-3/),若四边形OARP为平抒WaiJ^.WCA-P&W 无thU-3/=2 边形OABP不可能为平行W边形.。