t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
➢ 刚体的平面平行运动 .
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
二、 刚体定轴转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
约定
rr沿沿逆逆时时针 针方 方向 向转 转动动
> <
0 0
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
Ｘ x
dx
Ｘ x
dx
hC
Ｘ
x dx
平行轴定理
质量为 m 的刚
体，如果对其质心轴
的转动惯量为 IC ，
则对任一与该轴平行，
相距为 的转d 轴的
转动惯量
IO IC md 2
注意
d
C
O
m
z
y
I
Iy
x
ry
Ix x
I r2dm (x2 y2 )dm Ix I y
V
V
y
l sin
m l0
刚体平动 质点运动
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
ma
I miri2
i
转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动 惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小， 则刚体的转动惯性小。
转动惯量一般与两个因素有关：
（1）转动轴的位置；
（2）转动刚体的质量；
m3 r3 m4 r4
r2
m2
r1 m1 ri
r5
mi m5
➢ 质量离散分布系统的转动惯量
I miri2 m1r12 m2r22
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。
a
例题、一根长为l、质量为m的均匀直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
a r
从以上各式即可解得
a m2 m1
m2
而
T1 m1g
g
m1
a
Mr J
r2
/
r
m2
m2
m1 g M
m1
1 2
m
/
r
m1 2m2
1 2
m
g
M
/
r
m2
m1
1 2
m
T2
m1g－a
m2
2m1
1 2
m
g＋M
m2
m1
1 2
m
/
r
a m2 m1g M / r
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dI r 2dm 2 πr3dr
I R 2 πr3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 I 1 mR2 2
例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定
轴转动的转动惯量。
Z
R2 z2
dz
z
R
x
例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从
静止落下距离 y 时，
A mA
C
mC
其速率是多少？（3） 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设
它们间的摩擦力矩为
mB B
M f 再求加速度及绳 的张力.
FT1 mAa
mBg FT2 mBa RFT2 RFT1 M f J
a R
A mA
FT1
C mC FT2
mB B
a mBg M f R mA mB mC / 2
FT1
mA (mBg M f / R) mA mB mC / 2
FT2
mB
(mA mC 2) g mA mB mC
分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示
。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 Mf。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2mB gy
mA mB mC / 2
（3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩 M f ，转动定律
RFT2 RFT1 Mf J
结合（1）中其它方程
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 M f J
a R
FT1
M f FT2
FT2
FN
mB PB
mAFT1 PA
a R
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
3g (1 cos )
l
例：一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动， 初始为角速度为ω0，它所受阻力矩与转动角 速度的平方成正比，即M＝－kω2（k为正的 常数），求：
（1）圆盘开始转动时的角加速度。 （2）圆盘的角速度从ω0变为1/3ω0时所需的时 间。
绳的两端分别悬挂着物体A和B，A的质量为m，B的质量为 2m，这一系统由静止开始转动，忽略滑轮轴的摩擦，绳子与 滑轮间无相对滑动，求两滑轮的角加速度和它们之间的绳的张 力。
2r r
m 2m
例 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 02 2 ( 0 )
四、角量与线量的关系
Mf 2
R
例、如图所示，圆盘形滑轮的质量为M，半径为R， 通过滑轮连接的两个物体质量分别为m1和m2 (m1>m2)，若斜面是光滑的，倾角为，绳与滑轮 间无相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，求（1）绳子 中的张力；（2）m1、m2的加速度。
m2 m1
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an r
a v
a r an r 2
a r r 2n
r
v
v r
a
r
五、力矩