第六章习题解答22、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大1误差限。

解：①由梯形公式：T ( f )b a[ f (a) f (b)]2 1[ln1 ln 2] ln 20.3466222最大误差限R ( f )(b a)3 f '' ( ) 111 0.0833T 1212 2 12 12其中，(1,2)②由梯形公式：ba4 f ( b af (b)]14ln( 3ln 2] 0.3858S( f )[ f (a))[ln1 )626 2最大误差限R S ( f )(b a)5 f (4) ( ) 66 0.0021，28802880 42880其中，(1,2) 。

4、推导中点求积公式f ( x)dx (b a) f (a b)(b a) 3(ab)ba224证明：构造一次函数 P （ x ），使 P a2 b f a b , P '( ab ) f ' ( ab), P '' ( x) 0222则，易求得 P( x) f '(ab )( x a b ) f ( ab )2 2 2且P(x)dxf ' ( a b )( x a b ) f ( a b) dx bbaa222f (a b)dx (b a) f (a b ) ，令P(x)dx I ( f )bba22a现分析截断误差：令r ( x)f ( x) P(x)f ( x)f ' ( ab)( xa b ) f (ab )222由 r ' ( x) f '(x)f ' ( ab) 易知 x a2 b为 r (x) 的二重零点，2a b )2 ，所以可令 r (x)( x)( x2构造辅助函数 K (t)f (t ) P(t)(x)(t ab) ，则易知：2K (x)K a b0 其中 ta b为二重根K (t ) 有三个零点22由罗尔定理，存在(a,b)使K ''( ) 0即 f '' ( ) 2K ( x)K (x)f '' ( )2从而可知 r (x)f ( x) P( x)f ''( )( x a b )222截断误差R( f )bI ( f )bf ( x) P(x) dxbb f ''( )a b 2dxf ( x)dxa r ( x) dx a( x)aa22( xa b)2 在 (a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理2R( f )b f ''( )a b2 dx f '' ( ) ba b 2dx (b a)3'' ( )(a,b)a( x)( x)f222a224综上所述f ( x) dx I ( f ) R( f )(b a) f (ab )(b3( ) 证毕a) fba22416、计算积分 e x dx ，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限R ( f )b a 2f ''( ) (b a)3ee15h10T1212n212n22可解得： n212.85即至少剖分 213 等分。

②由复化梯形公式的误差限R S ( f )b a h 4 f (4) ( ) 1 4 e1 10 52880 2880n2可解得： n 3.707即至少剖分 4 等分。

0， 1， 2 为求积节点，建立求积分 I3 7、以 f ( x)dx 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。

解：在 0， 1，2 节点构造 lagrange 插值多项式，则有P 2 ( x) l 0 ( x) f (0) l 1 ( x) f (1) l 2 ( x) f (2)( x 1)(x 2) f (0)x(x 2) f (1) (2 x(x 1) f (2) (0 1)(0 2)(1 0)(1 2)0)(2 1)则 f (x) P 2 (x)f (3) ()3 ( x)3 ( x) x( x 1)( x 2)3!对上式在 [0， 3]上求积分，则有33 3 f (3) ()f (x)dx0 P 2 ( x)dx3!3 (x) dx其中3f (0)323x2) dx (3( x 22 x)dxf (2) 32x)dxP 2 (x)dx2( xf (1))2( xf (0) [ 1 x 3 3 x 2 2x]03f (1)[1x3x2] 03f (2) [ 1 x 3 1x]032 323 2 3 2f (0) 3 f (2) 922223f (0)9f (2)44再分析截断误差13f(3) () x( x 1)(x 2) dx此处分段处理R( f )3!即 R( f )1 2 (3) ( ) x(x 1)(x 2)dx1 3 (3)( ) x( x1)(x 2)dxR 1 ( f ) R 2 ( f )3!f 3!f0 121）其中，对于 R 1( f )2 (3) ( ) x( x 1)( x 2)dx3!f由于 x( x 1)(x 2) 在 [0， 2]上不保持常号故考虑构造一个三次多项式F ( x) 满足下列插值条件：F (0) f (0)F (1) f (1) F (2) f (2)F ' (1) f ' (1) F ' (2) f ' (2)由 Hermite 插值方法，有f ( x) F ( x)1f (4) ( )( x 0)( x 1)2 ( x 2) dx4!212(4) () x(x 1)2(x 2) dx则 R 1 ( f )[ f (x) F ( x)] dx f4!显然此时 x(x1)2 (x 2) 在 [0， 2]上恒小于等于 0.于是由第二积分中值定理R 1 ( f ) 1 f(4) (1 )2x( x 1)2( x 2)dx4!1f (4) (1)2(x44x35x22x)dx4!1 (4)15453 2 21(4)4! f( 1)[ 5 xx 3 x x ] 090 f ( 1 )2）其中 R 2 ( f ) 1 3f (3)( ) x(x 1)(x 2)dx3!2显然 x( x 1)(x 2) 在 [2， 3]上恒正 .于是由第二积分中值定理R 2 ( f )1 f (3) ( 2)3 x( x1)( x 2) dx23!1 f (3) (2 )3(x33x22x)dx3 f (3) (2 )23!8综上，截断误差R( f )R 1 ( f ) R 2 ( f )3f (3) ( 2 ) 1 f (4) ( 1 )39890 3 f ( 3 ()1 f所以I3f ( x)dx f (0) f (2) R( f ) ( R( f )2)((4 1)))4 48908、（ 1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。

h f (x)dxh[ f (0)f (h)]h 2[ f ' (0)f ' (h)]2解：分别将 f ( x) 1 ， x 代入求积公式，易知求积公式精确成立。

代入f (x)x 2 ，令求积公式精确成立，于是有：左h 3,3右h 3 2 h 33可解得：112代入 f (x)x 3 ，于是有左h 4 ,4右h 4 h 4 h 4244左 =右，求积公式成立。

代入 f (x)x 4 ，于是有左h5, 5右h5h4h 4236左右，求积公式不精确成立。

综上可知，该求积公式具有三次代数精度。

9、对积分1Gauss 求积公式，要求：f ( x)(1 x2 )dx ，求构造两点（ 1）在 [0,1] 上构造带权( x)1x 2的二次正交多项式；（ 2）用所构造的正交多项式导出求积公式。

解：（1）构造在 [0,1]上构造带权函数( x) 1 x 2的正交多项式 Q0 ( x) 、 Q1 (x) 、 Q2 ( x) ，取Q0()1、Q1 ( x) ( x 1)Q0( x)，x1x2 )dx 3其中[ xQ0 ( x),Q 0 ( x)]0 x(111，[ Q0 ( x), Q0 (x)]28(1) dxx则 Q1 ( x)x 3。

8同理， Q 2( x)x216 x11，求 Q2 ( x) 的零点得：1995x0 0.17306907， x10.66903619求积系数：A010 ( x)dx0.39523617lA110.27143053l1 ( x)dx（ 2）求（ 1）可导出求积公式：1f (x)(1x 2 )dx A0 f ( x0 )A1 f (x1 )0.39523617 f (0.17306907 ) 0.27143053 f (0.66903619)11、试用三点 Gauss-Legendre 公式计算3 1dx 并与精确值比较。

1x解：设三点Gauss-Legendre 求积节点为：15， t1015t0， t 255相应求积系数为：A 05， A 1853 ， 9 ， A 2， a 1 , b99f ( x) 1，令 xa b b a tx 2 2 3 1b a 1a b b a t)dt则 dx2f (2 21x1b a 2A i f ( a b b at i )2 i 0 2 21.09803922精确值为： ln3=1.09861229 ，二者误差： R ≈ 5.7307× 10-4。

113、对积分 f ( x) ln 1dx 导出两点 Gauss 求积公式x1解：在 [0， 1]上构造带权(x) ln 的正交多项式0 ( x) 、 1 (x) 、 2 ( x)x11dx( x 0 ( x), 0 ( x))x ln 10 (x) =1， 1( x)( x1 )0 ( x)x1( 0 ( x), 0 ( x))1140 lndxx1 (x)x14x 25 x17 同理可得2 ( x)7252求2 (x) 的零点可得 x 00.11200881 x 10.60227691以 x 0 、 x 1 作为高斯点两点高斯公式， n 1 ，应有 3 次代数精度，求积公式形如11dx f ( x)lnA 0 f ( x 0 ) A 1 f ( x 1 )x将 f (x)1, x 代入上式两段，1 A 1ln 1dx A 0x11dx x 0 A 0x lnx 1A 10 x联立解出： A 0 0.71853932,A 1 0.28146068所以所求两点 Gauss 求积公式11dxA 0 f ( x 0 ) A 1 f ( x 1 ) 0.71853932 f (0.11200881) 0.28146068 f (0.60227691)f ( x)ln 0x15、利用三点Gauss-Laguerre 求积公式计算积分1 2 dx1 x解：原积分 I 1e xf (x)dx，其中f ( x)e x2 dx1 x 21 x由三点 Gauss-Laguerre 求积节点：x 0 0.4157745568,x 1 2.2942803063,x 3 6.2899150829相应求积系数A 0 0.7110930099,A 1 0.2785177336,A 2 0.010*******2则IA K f (x K ) 1.49790652K 016、设 f ( x) 四阶连续可导，x i x 0 ih, i 0,1,2 。