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(3) 多级ICN（P409） 定义：多级ICN使用多级开关，使得数据在一次通过网络的过程中可以实现 的置换种类更多。 通常在N个结点的网络中，多级ICN由n级构成（n = log2N）。 经典的多级互连网有多级立方体网、多级混洗—交换网和多级PM2I网。我们 只学习多级混洗—交换网。 多级立方体网和多级混洗—交换网不使用单级互连网中的那种多路选择开关 ，而是用一种2输入/2输出的二元交换开关，以减少开关总数。二元交换开关 的基本接通状态有“直连”、“交换”、“上播”和“下播”，在进行数据置 换时只能使用前2种。
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静态网络（P402）
静态网络使用直接链路，它一旦构成后就固定不变。 下面介绍几种常用的静态网络。 1.线性阵列
在N很小的情况下，线性阵列相当经济和合理的。由于直 径随N线性增大，因此当N比较大时，就不应使用了。
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2. 环与带弦环
n=3的交换置换形状如右图所示。
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1
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3
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单级立方体网（Cube网，P396第1行 / P405第4行） 该网络由立方体函数定义，立方体函数族有n个成员，分别是Cube0，Cube1 ，……，Cuben-1。 立方体函数定义：Cubei的功能是对入端结点编号二进制形式的第i位取反 Cubei(Xn-1…Xi+1XiXi-1…X0)=Xn-1…Xi+1XiXi-1…X0，其中0≤i≤n-1 例如：Cube0(0)=1，Cube3(7)=15。 n=3的单级立方体网络拓扑形状如右图所示。 最坏情况下的传输需对输入结点编号的全部 n位取反。所以单级立方体网络的直径是n。 立方体函数性质：结合律、交换律以及自反 律（Cubei重复使用2次的结果与原始自变量相 同）。
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5 6 7
5 6 7
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N = 8的PM2+i网络拓扑形状如下图所示，可以看出它包含多个强连通子图 （即除去若干边以后仍能保证任何一对结点互相可达），所以这2n个函数并 不是实现互连网的最小集合。实际应用中为了降低造价，人们往往取它们的 一个子集来构造互连网。 • 性质1：对相同的i值，PM2+i 与PM2-i函数的传送路径相同， 方向相反（右图中所有箭头 反向即为PM2-1的拓扑形状）； • 性质2：PM2+(n-1) = PM2-(n-1)。 根据性质2，我们知道 单级PM2I网络实际上只能 实现2n-1种不同的置换。 单级PM2I网络的直径是 n / 2 。
ICN 0 0
N-1
互连函数族的组成必须使网络成为连通图。
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N-1
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交换置换（P395）
交换置换函数定义：对入端结点编 号二进制形式的第0位取反
0 1 2 3 E(Xn-1Xn-2…X1X0)=Xn-1Xn-2…X1X0， 其中0≤i≤n-1 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7
shuffle（Xn-1Xn-2……X0）= Xn-2……X0Xn-1（循环左移）
PM2I函数定义：PM2±i 的功能是对入端结点编号加或减2 i，然后再作模N运 算 PM2+i（X）= X + 2i mod N PM2-i（X）= X - 2i mod N 其中 X = 0 ～ N - 1，i = 0 ～ n - 1。
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7.2 通用网 特点：成本低，并行性差。 (1) 拓扑结构(硬件，P402-P407)：直线，单向环，双向环，带弦环，树，星 型（真星型，假星型），完全网。 (2) 传输协议(使用规则，软件，P427-P435)：碰撞争用，令牌协议，剑桥环。
(3) 主要参数(P399)：直径，中剖宽度，结点的度，最长边。 示例：Fra bibliotek输 出端
存 单 0 储 元
处 单 N-1 理 元
0 0 （关络 开网） N-1 N-1
处 单 N-1 理 元
0 0 （关络 开网） N-1 N-1
存 单 N-1 储 元
(a) 处 单 /处 单 的 接 理 元 理 元 连
(b) 处 单 /存 单 的 接 理 元 储 元 连
(3) ICN的主要操作：置换(N－N)，广播(1 － N)，选播(1 － N’)。
互连网络(P394) 第七章 互连网络
本章内容：介绍用于多机并行计算的各种网络，它们统称为互连网络， 缩写符号是ICN（Interconnection Network）。
•互连网络是一种由开关元件按照一定的拓朴结构和控制方式 构成的网络，用来实现多处理机、多计算机之间或多个功能 部件之间的连接，是多处理机、多计算机系统的核心。 •互连网络的设计目标： 通过互连网络连接的多个部件能实现灵活的连接变换、能提 供部件间的通信的最大并行性。
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单级加减2i网（PM2I网，移数网，P398倒数第2行） 该网络由PM2I函数定义，PM2I函数共有n对成员，分别是PM2 ……，PM2 ±(n-1)。
±0，PM2 ±1，
PM2I函数定义：PM2±i的功能是对入端结点编号加或减2i，然后再作模N运算 PM2+i（j）= j + 2i mod N PM2-i（j）= j - 2i mod N 其中j = 0 ～ N - 1，i = 0 ～ n - 1。 0 0 例如：当N = 8时， 1 1 0 = 1， PM2+0（0）= 0 + 2 2 2 PM2+0（1）= 1 + 20 = 2， PM2+0（7）= 7 + 20 = 0， 3 3 PM2+1（0）= 0 + 21 = 2。 4 4 N = 8的PM2+1（j）函数开关状态如右图 所示，其连接规律是把各入端结点编号加上 相同的增量21（mod N），获得出端结点编号。
(4) 典型代表：以太网，令牌网（环或直线）。
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7.3 专用网 特点：并行度高，造价昂贵。 (1) 互连函数 N个输入到N个输出的一种对应状态可以用一个映射函数表示，称为互连函 数。它是处理单元集合对于自身的双射映射，所以又称为“置换”，或者“循 环”。 互连函数有多种表示方式，如下例所示： f(0)=1 f(1)=2 f(2)=0 f(3)=3 a.枚举法 0 1 2 3 0 1 2 3 c.列表法 d.循环函数 f= 0 1 2 3 1 2 0 3 f=(0,1,2)(3)
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5. 胖树形
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6. 网格形和环网形
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7. 超立方体
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动态互接网络
为了达到多用或通用的目的，我们需要采用动态连接网络， 它能根据程序要求实现所需的通信模式动态连接特性。 按照价格和性能增加的顺序，动态连接网络的排队次序为总 线系统、多级互连网络(MIN)和交叉开关网络。 1.总线系统
总线系统价格较低，存在总线争用。
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2.交叉开关网络
交叉开关网络是单级网络，它由交叉点上的一元开关构成。 通常，这类交叉开关网络需要使用n×m个交叉点开关。正方形 交叉开关网络(n＝m)可以无阻塞地实现n!种置换。 每个周期可以实现n个数据传输，与每个总线周期只传一个数 据相比，它的频宽最高。 对小型系统来说性能价格比较高。 但是单级交叉开关网络一旦构成后将不能扩充。
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基本概念
(1) 网络规模 一般说来，网络用图来表示。其结点数称为网络规模。 (2) 结点度 与结点相连接的边(即链路或通道)的数目称为结点度。在单向通道的情 况下，进入结点的通道数叫做入度，而从结点出来的通道数则称为出度。 结点度应尽可能地小并保持恒定。 (3) 距离 两结点之间相连的最少边数。 (4) 网络直径 网络中任意两个结点间最短路径长度的最大值称为网络直径。网络直径 应当尽可能地小。 (5) 等分宽度 当某一网络被切成相等的两半时，沿切口的最小边数(通道)称为通道等 分宽度。 (6) 路由 在网络通信中对路径的选择与指定。通常见到的处理单元之间的数据路 由功能有移数、混洗、交换、广播(一对全体)、选播(多对多)等。
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7.1 目的与作用
(1) 当前提高计算速度的主要措施，一是改进器件，二是多处理单元并行计 算。ICN是供多处理单元传输数据的高速通路，对并行计算时间影响很大。
(2) ICN与处理单元的连接模型
输 入端
处 单 理 元0 ICN
输 出端
处 单 0 理 元
输 入端
ICN
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2 0 1
3
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单级混洗-交换网（P396倒数第8行） 该网络由混洗函数（shuffle）与交换函数（exchange即Cube0）定义，或者 说它的互连函数族只有这两个成员。 • 混洗函数定义： 2j mod（N-1），当j < N-1 shuffle（j）= N-1 ，当j = N-1 例如：当N=8时，shuffle（0）= 0，shuffle（1）= 2，shuffle（7）= 7。 n=3的混洗函数开关状态如P397图7.6(a)所示，其连接规律就像洗牌。 • 性质1：shuffle（Xn-1Xn-2……X0）= Xn-2……X0Xn-1（循环左移） • 性质2：shufflen（j）= j n=3的混洗网络拓扑形状如下图绿线所示，可以看出它不是一个连通图，所 以还需要增加一个交换函数（图中红线所示），才能构成完整的单级混洗—交 换网络。 单级混洗— 交换网络的直 0 1 2 3 4 5 6 7 径是2n-1。