文章算术平方根的双重
非负性
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
算术平方根的双重非负性
一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

0的算术平方根是0。

其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。

这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。

一、利用非负性①被开方数0≥a
例1x 为何值时，下列各式有意义。

⑴x -；⑵x x +-1；⑶
14+x ； ⑷12+x ；⑸11
2--x
解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义；
⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义；
⑶当01>+x ，即1->x 时，14
+x 有意义；
⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义；
⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11
2--x 有意义，但
无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。

评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。

例2若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为。

解：由被开方数0≥a 得，
所以21=
x 把21=
x 代入等式得4=y 故242
1=⨯=xy ，应填2。

评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。

可以解出x 、y 值。

例3比较x -5与()3
6-x 的大小。

解：由被开方数0≥a 得
因此，06<-x ，()063
<-x 所以x -5>()3
6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。

二、利用非负性②0≥a
例421++a 的最小值是，此时a 的取值是。

解：因为01≥+a 所以221≥++a
当a+1=0，即a=-1时取等号。

故应填2、-1。

评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。

例5若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。

解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数 所以010592=+++-x y x
又因为092≥+-y x ；0105≥+x
即⎩
⎨⎧=+=+-0105092x y x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=272y x 评注：由0≥a 和0≥a ，以及几个非负数的和等于0，则这几个非负数一
定都为0可以得到⎩⎨⎧=+=+-0
105092x y x 。

从而计算出结果。

三、双重非负性的同时应用
例6已知3323+-=+x x x x ，则x 的取值范围是。

解：因为0323≥+x x ， 所以03≥+-x x ， 又因为03≥+x ，
所以0≥-x ，即0≤x ，
又03≥+x ，所以3-≥x ，
故x 的取值范围是03≤≤-x 。

评注：虽然大家没学习过如何将x 开方出来，但只要能灵活应用性质①被开方数0≥a 和性质②0≥a ，一样能求出x 的取值范围。

例7若x 、y 、m 适合关系式
y x y x m y x m y x --++-=-++--+2005200532353，试求m 的值。

解：由等式的右边，根据算术平方根的意义有：
02005≥+-y x 且02005≥--y x
所以2005≤+y x 且2005≥+y x
即2005=+y x
已知即为：()()02323=-+++--++⨯m y y x m y y x
⎩⎨⎧=-+=--+0
40100326015m y m y 解得2008=m 评注：抓住题目中隐含的条件——算术平方根具有双重非负性：①被开方数0≥a ；②0≥a ，然后仔细观察，便不难解决此类问题。