2017年上海市高考数学模拟试卷、填空题(本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分)1 •计算:2 •设函数f (x)二五的反函数是fT (X),则fT ( 4)3. 已知复数二.K：乜(i为虚数单位)，则| z| = ______ .4. 函数f (x)=sinx+Vs p cosx,若存在锐角B满足f ( 0) =2,贝U 0= _____ .5. 已知球的半径为R,若球面上两点A, B的球面距离为」，则这两点A, B间的距离为6. ________________________________________________________________若(2+x) n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256,贝U正整数n= _______ .7. 设k为常数，且-、-三：——-、「•！*,则用k表示sin2 a勺式子为sin2 a三_ .2 * —.—. 8. 设椭圆丄「, •二：的两个焦点为Fi, F2, M是椭圆上任一动点，贝U 11 .-1! -的取值范围为—.9. 在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,若-J- ：;i.. , sinC=2 sinB,则A角大小为—.10. ____________________________________________________________ 设f (x) =lgx,若f (1 - a)- f (a)> 0,则实数a的取值范围为___________________ . 11. __________________________________________________________ 已知数列｛a n｝满足：a1=1, a n+1+a n= (=) n, n€ N*，贝则二［匸严= __________ .12. 已知△ ABC的面积为360,点P是三角形所在平面内一点，且则厶PAB的面积为二、选择题(本大题满分20分)13. 已知集合A={x| x>- 1}，贝U下列选项正确的是( )15.图中曲线的方程可以是( )A. 0? AB. {0}? AC. ?€ AD. {0} € A14. 设x, y€ R,贝U “x|+| y| > 1”的一个充分条件是( )A. |x| > 1B. | x+y| > 1C. y<- 2D.丨• 一 -且 L -15.图中曲线的方程可以是( )A. (x+y—1) ? (x2+y2- 1) =0 B・#：：；__ ・二亠，i - 1C. i ：」T ：i 二D.咕__ ・「J _ I16. 已知非空集合M满足：对任意x€ M，总有X2?M且曰，若M? {0, 1,2,3, 4, 5}，则满足条件M的个数是( )A. 11B. 12C. 15D. 16三、解答题(本大题满分76分)17. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2, BC=1, AC与底面所成角的大小为中，过点A作截面ABC ACD,截去部分后的几何体如图所示.(1)求原来圆锥的侧面积；(2)求该几何体的体积.2 218. 已知双曲线r (a>0, b>0),直线I: x+y- 2=0, R, F?为双a b曲线r的两个焦点，I与双曲线r的一条渐近线平行且过其中一个焦点.(1)求双曲线r的方程；(2)设r与l的交点为P,求/ RPR的角平分线所在直线的方程.19. 某租车公司给出的财务报表如下：有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公亠仏t ~ ak式为- -ii;；(1)分别计算2014, 2015年该公司的空驶率的值(精确到0.01%)；(2)2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30 日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？(分别精确到0.01元和0.01公里)20•已知数列｛a n｝，｛b n｝与函数f (x), ｛a n｝是首项a1=15,公差d工0的等差数列，｛ b n｝满足：b n=f ( an).(1)若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；(2)若d=2, f (x) =|x-21|，求｛b n｝的前n 项和S n；(3)若d= - 1, f (x) =e x，T n=b1?b2?b3-b,问n 为何值时，T n 的值最大？21.对于函数f (x),若存在实数m,使得f (x+m) - f (m)为R上的奇函数，则称f (x)是位差值为m的位差奇函数”.(1)判断函数f (x) =2x+1和g (x)=艺是否为位差奇函数？说明理由；(2)若f (x) =sin(x+3是位差值为中的位差奇函数，求©的值；(3)若f(x) =x3+bx2+cx对任意属于区间［- •二中的m都不是位差奇函数，求实数b, c满足的条件.2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分)1•计算：21! = -2■【考点】二阶矩阵.【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解.14疲【解答】解：=4X 1 -3X2=-2.|2 1]故答案为：-2.2•设函数f (x) 乐的反函数是f-1(x),则f-1(4) = 16 .【考点】反函数.【分析】先求出x=y, y>0,互换x, y,得f" (x) =x2, x>0,由此能求出f(4).【解答】解：•••函数f (x) =y=，:的反函数是f-1(x),••• x=y, y>0,互换x, y, 得f-1(x) =x2, x>0,f「1(4) =42=16.故答案为：16.3 .已知复数」匸『(i为虚数单位)，则lzl= 2 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数模的计算公式即可得出.【解答】解：复数丄(i为虚数单位)，则|z| =寸广卜1/门'=2.故答案为：2、4 .函数—：：i 二]:- "若存在锐角B满足f ( 9) =2,则B =【考点】三角函数的化简求值.【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值. 【解答】解：函数二七：-m=2 (一sinx+ cosX2 27T=2sin (x+ ..),由若存在锐角9满足f (9) =2,即有2sin ( 9+ - ) =2,解得9 =TT故答案为：.65. 已知球的半径为R,若球面上两点A, B的球面距离为―，则这两点A, B 间的距离为R .【考点】球面距离及相关计算.【分析】两点A、B间的球面距离为厶可得/ AOB=[,即可求出两点A, B 间的距离. 【解答】解：两点A、B间的球面距离为耳，二/ AOB=.•••两点A, B间的距离为R,故答案为：R.6. 若(2+x) n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256,则正整数n= 8 . 【考点】二项式系数的性质.【分析】由题意可得：2n=256,解得n.【解答】解：由题意可得：2n=256,解得n=8.故答案为：8.7•设k为常数，且. ，则用k表示sin2 a勺式子为sin2 a = 2k 2- 1【考点】二倍角的正弦.【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解.【解答】解：T -、-启，.•.誓（cos a+sin a =k，可得：cos a+sin k，•••两边平方可得：cos2a+sin2a+2cos a sin a2,可得：1+sin2 a =2ksin2 a =2—1.故答案为：sin2 a =2-1.2 “ ------------------------------------------------------- 8. 设椭圆—}-■-[的两个焦点为F1, F2, M是椭圆上任一动点，贝U 11 :, -1! -的取值范围为[-2，1].【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意可知：焦点坐标为F1 （-£，0），F2 （花，0），设点M坐标为22 --------------- —M （x，y），可得y=1—亍，川卩厂皿卩2=（-航-x，- y）?（V^ —x，- y）2 2 . __-3+1-[ = ' - 2,则x2^ [0，4]，f' \ ' -V \ [的取值范围为[-2，1].F1 （- =, 0），F2 （二,2 2设点M坐标为M （x，y），由■ _ "'，可得y=1 -；=x2 0），MF[=（-拆-x ,- y ）, MF 厂=（忑-x ,- y ）;__ t ___ i2 2 x ,- y ） ? （「— x ,- y ） =x 2 - 3+1二，-2,44由题意可知：x € [ - 2, 2]，则 X 2€ [0, 4], •••「； J 〔的取值范围为[-2,1]. 故答案为：[-2, 1].9.在厶ABC 中，内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若.…「- 一 •，sinC=2 ― 兀 sinB ,则A 角大小为—6 —【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用. 【分析】先利用正弦定理化简sinC=2 "^sinB ,得到c 与b 的关系式，代入- b 7 ：..：中得到a 2与b 2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA,把表示 出的关系式分别代入即可求出cosA 的值，根据A 的范围，利用特殊角的三角函 数值即可求出A 的值.【解答】解：由sinC=2.=sinB 得：c=2.=b , 所以.j _ - J - -：■；!-=「?2 .二b 2,即 a=7b 2,所以A=..bTT故答案为：~r~610. 设f (x ) =lgx ,若f (1 - a ) - f (a ) >0,则实数a 的取值范围为一丄 【考点】对数函数的图象与性质.【分析】由题意，f (x ) =lgx 在(0, +x)上单调递增，利用f (-a )- f (a )>0,可得-a >a >0,即可求出实数a 的取值范围.【解答】解：由题意，f (x ) =lgx 在(0, +x )上单调递增， ••• f (1 - a )- f (a )> 0,则cosA 亠—丄一-二2bc 4®，又 A €（ 0, n ）,••( a 计a 2) +=：(a 3+a ) +••+ ( a 2n -计a 2n ) 3爭―丄) .3 屮•• S 2n =- ( 1-( 1-「)= ( 1-」a 〔+ (a 2+a 3) + ( d+a 5)+••+ ( a 2n -2+a 2n - 1)=1 +3°3丄[1 一 L19 v2(n-l ｝，工-F=1+— 一 -1气• S>n -1 = 1+…L -.，3仃-丄--a 2n = S ^n- S 2n-〔「J'舌 C - [ 1十-(1 - -：■!. ''■ = 1 亠" 、• • . * - = . * . - [ 1+ ；- ( 1 - . * -[1+-( 1 故答案为：：.12.已知△ ABC 的面积为360，点P 是三角形所在平面内一点, 则厶PAB 的面积为 90••• 1 - a >a >0,11 •已知数列｛a n ｝满足：6=1, a n+i +a n =(.：) n , n € N *，贝U _/ =__',【考点】极限及其运算.【分析】由已知推导出 务=£ ( 1 - 32n )，S 2n - 1 = 1+g (1 _ 32n_ ])，从而a 2n =S ?n -篡-1=^匚- [1+：.( 1-F^)]，由此能求出.1 二•【解答】解：•••数列｛an ｝满足：a 1=1,暮.「1厂〒，n € N *，]=--且.=/【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】取AB的中点D, AC的中点E,则P为DE的中点，利用相似比，可得结论.【解答】解：取AB的中点D, AC的中点E,则P为DE的中点，•••△ ABC的面积为360,•••△ PAB的面积=△ ADE 的面积=...... 1=90.故答案为90.二、选择题（本大题满分20分）13. 已知集合A={x|x> - 1}，贝U下列选项正确的是（）A. 0? AB. {0}? AC. ?€ AD. {0} € A【考点】元素与集合关系的判断.【分析】根据元素与集合的关系，用€，集合与集合的关系，用？，可得结论. 【解答】解：根据元素与集合的关系，用€，集合与集合的关系，用？，可知B 正确.故选B.14. 设x, y€ R,贝U “x|+| y| > 1”的一个充分条件是（）A. |x| > 1B. |x+y| > 1C. y<- 2D..订；4且I【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：A.当x=1, y=0时，满足|x| > 1时，但| x|+| y| =1> 1不成立，不满足条件.B. 当x=1, y=0时，满足|x+y| > 1时，但| x|+| y| =1> 1不成立，不满足条件. C•当yw- 2时，|y| >2,则| x|+| y| > 1成立，即充分性成立，满足条件.D.当I.,:一且i-:--，则|x|+| y| > 1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件.故选：C.A. (x+y - 1) ? (x2+y2- 1) =0B.二7—"・二亠,i - 1C. v 二- I -D. ..-■■■八 _ |【考点】曲线与方程.【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y-仁0( x2+y"> 1),即可得出结论.【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y-仁0(x2+y2> 1), 故选C.16. 已知非空集合M满足：对任意x€ M，总有x2?M且丫切，若M? ｛0, 1, 2, 3, 4, 5｝，则满足条件M的个数是( )A. 11B. 12C. 15D. 16【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】由题意M是集合｛2, 3, 4, 5｝的非空子集，且2, 4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论.【解答】解：由题意M是集合｛2, 3, 4, 5｝的非空子集，有15个，且2, 4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A.三、解答题(本大题满分76分)17. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2,BC=1, AC与底面所成角的大小为号，过点A作截面ABC, ACD,截去部分后的几何体如图所示.15•图中曲线的方程可以是( ) (1) 求原来圆锥的侧面积；(2) 求该几何体的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】(1 )设BD的中点为0,连结0A, 0C,贝U 0A丄平面BCD.由经能求出S圆锥侧.(2)该几何体的体积V=. (S BCD+S半圆)？A0,由此能求出结果.【解答】解：(1)设BD的中点为0,连结0A, 0C,••• A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，••• 0A丄平面BCD.IT••• BD=2, BC=1, AC与底面所成角的大小为可，过点A作截面ABC ACD, •••在Rt A A0C中，0C=1,AC=2, A0=二，2• S圆锥侧二n rl=_ ■_=2 n(2)该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，••• A0=二，/ BCD=90,・・.CD==,2 218•已知双曲线r (a>0, b>0),直线I: x+y-2=0, F i, F?为双a2 b2曲线r的两个焦点，I与双曲线r的一条渐近线平行且过其中一个焦点.(1)求双曲线r的方程；(2)设r与I的交点为P,求/ RPR的角平分线所在直线的方程.【考点】双曲线的简单性质.【分析】(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y=±X,焦点坐标为F i (- 2, 0),F2 (2, 0),即可求双曲线r的方程；(2)设r与I的交点为P,求出P的坐标，利用夹角公式，即可求/ F i P丘的角平分线所在直线的方程.【解答】解：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为R (- 2, 0), F2 (2 , 0),•••双曲线方程为x2- y2=2；r2 _ 2_(2)瓷r = 寺),显然/ RPR的角平分线所在直线斜率k存在，x+y-2=0 221 耳F F且k> 0, ■>,77^-7-,'-- ,于是.一丁-亍 - 丁1 丄-二-./ -:；〔为所求.1014 年（1 - 121015 年（1 - 121016 年（1 - 11月) 月) 月) 接单量(单) 144632724012512550331996油费(元) 214301962591305364653214963平均每单油费t (元) 14.8214.49平均每单里程k (公里) 1515每公里油耗a (元) 0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为M；,.(1)分别计算2014, 2015年该公司的空驶率的值(精确到0.01%);(2)2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30 日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？(分别精确到0.01元和0.01公里)【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)根据空驶率的计算公式为.'■- ii；；，带入计算即可；(2)根ak据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程.的 / 八14. 82 - 0. 7 X15【解答】解：(1)14. 49- 0. 7X15⑵一(3)依题意，a n =15- (n - 1) =16-n , • .「 ■，利用指数运算性质、等差 数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出.【解答】解：(1) v a 4, a 7, a 8成等比数列，血=94?a 8,.・.(15+6d ) 2= (15+3d ) (15+7d ),化为：d 2+2d=0, •/ d ^ 0,二 d=- 2.(2)依题意，an=15+2 (n - 1) =2n+13, b n =| 2n - 8| ,(3)依题意，&=15-( n - 1) =16- n, •,21. 对于函数f (x ),若存在实数m ,使得f (x+m ) - f (m )为R 上的奇函数， 则称f (x )是位差值为m 的位差奇函数”.(1) 判断函数f (x ) =2x+1和g (x ) =2x 是否为位差奇函数？说明理由； (2) 若f (x ) =sin (x+3是位差值为+的位差奇函数，求©的值； (3) 若f(x ) =x 3+bx 2+cx 对任意属于区间［• •；中的m 都不是位差奇函数，求实数b , c 满足的条件.【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质.【分析】(1)根据 位差奇函数”的定义.考查h (x ) =g (x+m ) - g ( m ) =2x+m -2m =2m (2x - 1)即可,(2) 依题意， f 二丁二’丁— 阮二匸；丁：㈢.-:-■■ — '是奇函数，求 出机 (3) 记 h (x ) =f (x+m ) - f (m ) = (x+m ) 3+b (x+m ) 2+c (x+m ) - m 3- bm 2 -cm=£+ (3m+b ) x 2+ (3m 2+2bm+c ) x.假设 h (x )是奇函数，贝U 3m+b=0，此|2n-8l4S_2"JJ <;4%二|町| + |耳|+|均|+…+|bj 二7n- n<4n 2- 7n+24, n>4• 当 n=15或16时，T n 最大.时二-淤芷* .故要使h (x)不是奇函数，必须且只需【解答】解：(1)对于 f (x)=2x+1，f(x+m)- f( m)=2(x+m)+1-( 2m+1) =2x, 二对任意实数m，f (x+m)- f (m)是奇函数，即f (x)是位差值为任意实数m的位差奇函数”；对于g (x)=艺，记h (x) =g (x+m)- g (m) =2x+m- 2m=2m(2x- 1)，由h (x) +h (- x) =2m(2x- 1) +2m(2-x- 1) =0,当且仅当x=0等式成立，•••对任意实数m,g(x+m) - g(m)都不是奇函数，则g(x)不是位差奇函数”；(2)依题意，t.工｛—…■ ~ f— -亍_门：■/卜- 三门::一—• 4' 是奇函数，• 二」i—二二(k€ Z).4 4(3)记h (x) =f (x+m) - f (m) = (x+m) 3+b (x+m) 2+c (x+m) - m3- bm2-cm3 2 2=x + (3m+b) x + (3m +2bm+c) x.依题意，h (x)对任意口匕’八都不是奇函数，若h (x)是奇函数，贝U 3m+b=0，此时：：；二：匚=故要使h (x)不是奇函数，必须且只需，且c€ R.20仃年2月1日,； - 。