绝密★启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知R a ∈,i 是虚数单位，若ai z +=1，4=⋅z z ，则=a （ ）A. 11-或B.15C.15-D. 33-或2. 已知集合(){}{}12020310log 22020+==--==xy y N x x y x M ，，则=N M I ( )A. ()2,1-B. [)2,1-C. ()2,1D. [)2,13. 函数()21x f x -=的图象大致为（ ）A.B ．C ．D ．4. 设向量b a ρρ,满足3,2=-==b a b a ρρρρ，则=+b a ρρ2（ ）A. 6B. 23C. 10D.345. 若双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 21±= D. x y 22±= 6. 已知△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若5sin sin 2b A B =， 且()()04=+---+c b a b c a ，则△ABC 的面积=S ( )A.23B. 2C. 4D. 37. 《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的m 的值为（ ）A. 11B. 19C. 35D. 258. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( ) A.701 B. 352 C. 141 D. 81 9. 已知底面为长方形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，42==PA BC ，3=AB ，E 为PD中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.53 B. 52C. 2556D. 255810. 已知函数()()()0sin 2>++=ωϕωb x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 88ππ，且58=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=b （ ） A. 3或7 B. 3 C. 5 D. 5或811. 已知函数()x g 为偶函数，()x h 为奇函数，且满足()()xx h x g 2=-.若存在[]1,1-∈x ，使得不等式()()0≤+⋅x h x g m 有解，则实数m 的最大值为( )A. 1-B.53 C. 1 D. 53- 12. 已知21,F F 是椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于Q P ,两点.若1122,,,QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1PF PQ =，则椭圆C 的离心率为( )A.15105 B. 43C. 515D. 32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为_________.14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-020630y x y x y x ，则y x z -=2的最大值是__________.15. 若()3sin 5πα+=，α是第三象限角，则cossin22cos sin 22αααα+-_______________. 16. 在矩形ABCD 中，4=BC ，M 为BC 中点，将ABM △和DCM △分别沿DM AM ,翻折，使点B与C 重合于点P .若︒=∠150APD ，则三棱锥PAD M -的外接球的表面积为______________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （Ｉ）证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式； （ＩＩ）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.18. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数()100≤≤x x 和创新灵感指数()100≤≤y y ，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：（I ）求创新灵感指数y 关于艺术爱好指数x 的线性回归方程；（II ）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数t 对艺术爱好指数x 的提高量为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---200110t e x ，培训绘画次数t 对艺术爱好指数x 的提高量为()⎪⎭⎫⎝⎛+--10101100t x ，其中0x 为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程a x b yˆˆˆ+=中，x b y ax nxy x n yx b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==. 参考数据：851=∑=ni ii yx ，9012=∑=ni i x19. （本小题满分12分）已知抛物线()02:2>=p py x C 与圆12:22=+y x O 相交于B A ,两点，且点A 的横坐标为22.F是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点N M ,. （I ）求抛物线C 的方程.（II ）过点N M ,作抛物线C 的切线21,l l ，()00,y x P 是21,l l 的交点，求证：点P 在定直线上.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PAC PB 平面⊥，四边形ABCD 为平行四边形， 且︒=∠==135,42BAD AB AD .（I ）证明：⊥AC 平面PAB（II ）当直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为2时，求锐二面角D PC A --的余弦值.21. （本小题满分12分） 已知函数()x x x x f ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，()xk x x g -=.（I ）证明：当[)∞+∈，1x 时，()0≥x f . （II ）若函数)()(x g x f y -=在[)∞+，1有两个零点，证明：8171<≤k .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分．22. （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数）.在以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为：14sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （I ） 求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（II ）设点P 的直角坐标为()0,1，若直线l 与曲线C 分别交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]设函数12)(++-=x x x f .（I ）求函数)(x f 的最小值及取得最小值时的x 的取值范围.（II ）若集合{}R ax x f x =>-+01)(，求实数a 的取值范围.绝密★启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知R a ∈,i 是虚数单位，若ai z +=1，4=⋅z z ，则=a （ ）A. 11-或B.15C.15-D. 33-或【解析】D. 以为复数ai z +=1，ai z -=1，412=+=⋅a z z ，所以3±=a ，故选D2已知集合(){}{}12020310log 22020+==--==xy y N x x y x M ，，则=N M I ( ) A. ()2,1- B. [)2,1- C. ()2,1 D. [)2,1【解析】C 因为(){}{}25310log 22020<<-=--==x x xx y x M ，{}{}112020>=+==y y y y N x ，所以{}21<<=x x N M I ，故选C3函数()f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由表达式()21lg ||x f x x -=可知，函数为偶函数，排除A ，当0x →211x -，为正，lg ||x →-∞，所以()210x f x --=→，B 正确.故选：B 4设向量b a ρρ,满足3,2=-==b a b a ρρρρ，则=+b a ρρ2（ ）A. 6B. 23C. 10D.34【解析】D.由已知得()92942=⋅-+=-b a b a ρρρρ，得2=⋅b a ρρ，所以 ()348364222=++=+=+b a b a ρρρρ5若双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）B. x y 2±= B. x y 2±=C. x y 21±= D. x y 22±= 【解析】A. 因为双曲线的离心率为5，则512=⎪⎭⎫⎝⎛+=a b e ，所以2=a b ，所以渐近线方程为x x aby 2±=±=，故选A . 6已知△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若5sin sin 2b A B =，且()()04=+---+c b a b c a ，则△ABC 的面积=S ( )A.23B. 2C. 4D. 3【解析】B.因为5sin sin 2b A B =，所以有正弦定理得5=ab ，又因为()()04=+---+c b a b c a ，所以642222=-=-+ab c b a ，由余弦定理得53cos =C ，所以2sin 21==C ab S ，.故选B. 7《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的m 的值为（ ）B. 11 B. 19C. 35D. 25【解析】C.8琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )B.701 B. 352 C. 141 D. 81 【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为88A 种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为4544A A 种，则所求概率为141423884544===AAA P ，故选C. 9已知底面为长方形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，42==PA BC ，3=AB ，E 为PD 中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）B.53 B. 52C. 2556D. 2558【解析】D. 如图，去PB 中点F ,连接AF ，EF ，因为E 为PD 中点，所以EF//BD ，所以∠AEF （或补角）为异面直线AE 与BD 所成角.由已知得，21321,521====PB AF PD AE ，2521==BD EF ， 所以25582cos 222=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，故选D.10已知函数()()()0sin 2>++=ωϕωb x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 88ππ，且58=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=b （ ） 是否?3≤i ?3≤i输出m结束输入a开始32-=a m 1=i32-=m m 1+=i iB. 3或7 B. 3C. 5D. 5或8【解析】A. 因为⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 88ππ，所以函数图象关于8π=x 对称，所以528=±=⎪⎭⎫⎝⎛b f π，所以3=b 或7，故选A. 11已知函数()x g 为偶函数，()x h 为奇函数，且满足()()xx h x g 2=-.若存在[]1,1-∈x ，使得不等式()()0≤+⋅x h x g m 有解，则实数m 的最大值为( )B. 1- B.53 C. 1 D. 53- 【解析】 B.因为函数()x g 为偶函数，()x h 为奇函数，且满足()()xx h x g 2=-，所以()()()()xx h x g x h x g -=+=---2，得()()222,222xx x x x h x g -=+=--， 由()()0≤+⋅x h x g m 得，142114142222+-=+-=+-≤--x x x x x x x m ，由于1421+-=x y 为增函数，所以当1=x 时函数取得最大值53，故53≤m ，即实数m 的最大值为53，故选B. 12已知21,F F 是椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于Q P ,两点.若1122,,,QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1PF PQ =，则椭圆C 的离心率为( )A.15105 B. 43C. 515D. 32【解析】A. 1122,,,QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，设公差为d ，根据椭圆的定义得a a a a a 24321=+++，因为1PF PQ =，所以321a a a =+，所以⎩⎨⎧=+=+++32143212a a a a a a a a ，解得a d 52=，a a a a a a a a 58,56,54,524321====，所以a QF a PF a PF a PQ 58,56,54,56112====，所以在△21F PF 和△Q PF 1中，由余弦定理得()a a a a a a a c a a PF F 565625856565654225654cos 22222221⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠，整理得15105==a c e ，故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为_________.答案：02=-+ππy x【解析】：因为()x x x x f cos sin +='，所以()πππππ-=+='cos sin f ，所以在点(),0π处的切线方程为()ππ--=x y ，即：02=-+ππy x .14若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-020630y x y x y x ，则y x z -=2的最大值是__________.答案：415若()3sin 5πα+=，α是第三象限角，则cossin22cos sin 22αααα+-_______________. 答案：12-【解析】2cos sin cos sin 1sin 2222=cos cossincos sin cos sin 222222αααααααααααα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()21cos sin 154cos 53sin 53sin sin -=+∴-=∴-=∴=-=+αααααααπ，为第三象限角，，，ΘΘ16在矩形ABCD 中，4=BC ，M 为BC 中点，将ABM △和DCM △分别沿DM AM ,翻折，使点B 与C 重合于点P .若︒=∠150APD ，则三棱锥PAD M -的外接球的表面积为______________.答案：π68【解析】由题意知，PD MP PA MP ⊥⊥，，所以PAD MP 平面⊥，设ADP △外接圆的半径为r ，则有正弦定理可得r APDAD2sin =∠，所以4=r ，设三棱锥PAD M -的外接球的半径为R ，则171612222=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=r PM R ，所以外接球的表面积为ππ6842=R .四、解答题：共70分。