高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解:要使函数有意义,则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解:要使函数有意义,则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。
(1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。
(2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。
解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
(2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤,,。
即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析:函数的定义域为R ,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项的系数是m ,所以应分m=0或0m ≠进行讨论。
解:当m=0时,函数的定义域为R ;当0m ≠时,08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要条件是1m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。
评注:不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。
例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R ,求实数k 的取值范围。
解:要使函数有意义,则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立,因为)x (f 的定义域为R ,即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时,0k 34k 162<⨯-=∆恒成立,解得43k 0<<; ②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。
综上k 的取值范围是43k 0<≤。
四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。
例7 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域。
解:设矩形一边为x ,则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积。
2x ax 21)x 2a (21x y -=-⋅=ax 21x 2+-=。
由问题的实际意义,知函数的定义域应满足⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (210x 2ax 0<<⇒。
故所求函数的解析式为ax 21x y 2+-=,定义域为(0,2a )。
例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x ,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求定义域。
解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。
因为CD=AB=2x ,所以x CD π=⋂,所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂, 故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= Lx x )22(2+π+-=根据实际问题的意义知2L x 002xx 2L 0x 2+π<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )22(y 2+π+-=,定义域(0,2L +π)。
五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。
例9 已知)x (f 的定义域为[0,1],求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
解:因为)x (f 的定义域为[0,1],即1x 0≤≤。
故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集:⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a1x a 即两个区间[-a ,1-a ]与[a ,1+a ]的交集,比较两个区间左、右端点,知(1)当0a 21≤≤-时,F (x )的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-; (2)当21a 0≤≤时,F (x )的定义域为}a 1x a |x {-≤≤;(3)当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时F (x )不能构成函数。
六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。
解:由03x 2x 2>++-,即03x 2x 2<--,解得3x 1<<-。
即函数y 的定义域为(-1,3)。
函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==,复合而成的。
4)1x (3x 2x t 22+--=++-=,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(,-∞上是增函数;在区间)1[∞+,上是减函数,而t log y 2=在其定义域上单调增;3)[1)[1)31(]11(]1()31(,,,,,,,=∞+--=-∞- ,所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(,-上是增函数,在区间)31[,上是减函数。
函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解:∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域。
解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解:将函数配方得:4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得:23y 21≤≤ (2)当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解:两边平方整理得:0y x )1y (2x 222=++-(1) ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得:21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程:0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程(1)解得:]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时,原函数的值域为:]21,0[+注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54x 3++值域。
解:由原函数式可得:3y 5y64x --=则其反函数为:3x 5y 64y --=,其定义域为:53x ≠故所求函数的值域为:⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域。
解:由原函数式可得:1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得:1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域。
解:由原函数式可得:y 3x cos x sin y =-,可化为:y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1y y 3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤- 解得:42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法 例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解:令1x log y ,2y 325x 1-==- 则21y ,y 在[2,10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2,10]上是增函数 当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。