图四
如图所示，求空间任一点 P3 绕任一轴（以线段 P1P2 表示）转动θ角所得 P 点的坐标。
设点（P1,P2,P3）的坐标：
由高等数学知识可知，通过 P3 且垂直于直线（P1,P2）的平面的方程为： （1）
设该平面和直线（P1,P2）的交点为 P4。 直线（P1,P2）的参数方程：
（2）
由联立方程组（1）（2）可解出：
如图二所示： 在直角坐标系 XOY 中任一点的坐标 可由如下参数方程定义：
则有：
（1）
由（1）（2）得：
（2） （3）
b) 向量分析 如图二所示： P2 的坐标可以由向量 OP2 来表达
向量 r2 可对 r1 作旋转变换由公式（3） 求出。 3.MATHCAD 中实现二维变换
a) 关于坐标原点的旋转平移变换公式
( ) w2 + 1 − w2 ⋅ cos(θ) r2z
则 P3 在局部坐标系（X0,Y0,Z0）中绕 直线（P1,P2）的转轴公式以齐次坐标 表示如下：
在整体坐标系中向量: 至此即求出 P 点坐标。 如考虑平移及转动叠加，2 ⋅ cos(θ)
u ⋅ v ⋅ (1 − cos(θ)) − w ⋅ sin(θ) u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) + v ⋅ sin(θ) px r20
( ) w2 + 1 − w2 ⋅ cos(θ)
pz r22
0
0
0
1 1
其中（Px Py Pz）表证了平移量。
2. MATHCAD 实现过程 MATHCAD 是一款优秀的数学工具软件，合理运用将能节省研发人员、工
程设计人员、在校师生等大量的计算时间，如下是解题过程：
① 解析运算 ② 定义函数
③ 使用函数
由此可见，MATHCAD 是一款所见即所得的数学软件，其解题过程和人们 惯用的手写计算书非常类似，会省去很多繁琐的数学推导和数值计算，对解 决实际的问题带来不少便利。
附： MATHCAD 中旋转曲面生成示意图
代入（2）即可得到交点 P4 的坐标。
图五 如图五所示，以 P4 为原点的局部坐标系（X0,Y0,Z0）中：
设向量 r5 的齐次坐标为：
单位向量：
向量：
r2=P3-P4
根据罗德里格旋转公式：设 V 是一个三维空间向量，K 是旋转轴的单位向
量，则 V 在右手螺旋定义下绕 K 轴旋转角度θ得到的向量可以由以下公式定
义：
Vrot V ⋅ cos(θ) + (K × V) ⋅ sin(θ) + K ⋅ (K ⋅ V) ⋅ (1 − cos(θ))
图六（罗德里格旋转公式详解）
u
设：
K
v
w
代入上述公式可得：
r2x
V
r2y
r2z
( ) u2 + 1 − u2 ⋅ cos(θ)
u ⋅ v ⋅ (1 − cos(θ)) − w ⋅ sin(θ) u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) + v ⋅ sin(θ) r2x
注：T 代表转置矩阵 以上是以齐次坐标表示的点（x,y）关于坐标原点的旋转平移变换，U,V 代表平 移量。 注意到以下公式：
由此可知，齐次坐标表达对于左乘和右乘公式是有区别的。
b) 定义二维变换函数
如上函数计算 P1 绕 P0 逆时针旋转θ角所得点的坐标值，以向量表达。 使用函数示例： 二、三维坐标变换 1.计算原理
Vrot
u ⋅ v ⋅ (1 − cos(θ)) + w ⋅ sin(θ)
( ) v2 + 1 − v2 ⋅ cos(θ)
u
⋅
w
⋅
(1
−
cos(θ))
−
u
⋅
sin(θ)
⋅
r2y
u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) − v ⋅ sin(θ) u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) + u ⋅ sin(θ)
r5 u ⋅ v ⋅ (1 − cos(θ)) + w ⋅ sin(θ)
( ) v2 + 1 − v2 ⋅ cos(θ)
u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) − u ⋅ sin(θ)
py
⋅
r21
u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) − v ⋅ sin(θ) u ⋅ w ⋅ (1 − cos(θ)) + u ⋅ sin(θ)
点的坐标变换及在 MATHCAD 中的实现方法 一、 二维坐标变换
1. 求解目标 如图一所示，在直角坐标系 XOY 中
设：点 P1 的坐标为 (X1,Y1)，P1 绕 点 P0 (X0,Y0)逆时针旋转θ角所得坐标点 为 P2：(X2,Y2)。 求：P2：(X2,Y2) 2. 计算原理 此问题的求解可分步骤如下： a) 任一点绕坐标原点旋转的计算：