d (3) ( f ( x)
g( x))
df ( x)
dg ( x ) ，另一种表示：
(f(x)
g(x))/=f /(x)
g/ (x)
dx
dx
dx
d
d
d
d
(4) dx(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))= c1dx(f1(x))+c2dx(f2(x))+...+ cndx(f n(x))
§1-3 微分公式
(甲 )基本函数的微分公式
dxn (1) dx
=nxn
1， n
N
。
(2) d n x dx
1
1
xn
1
,n
N。
n
dc (3)dx
=0，其中
c 为常数。 (4)(sinx)/=cosx
(5)(cosx)/= sinx
另一种表示： (xn)/=nxn 1
(n
x
)
/
1 =n
x
1 n
1
(c)/=0
例如： (1)ddx (anxn+an 1xn 1+...+a1x+a0) (2)(3x5 2x3+4 5 x )/ =？
(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。 f(x)g(x)为可微分的函数。
d
d
d
且 dx(f(x) g(x))= dx(f(x)) g(x)+f(x) dx(g(x))
另一种表示： (f(x) g(x))/=f /(x) g(x)+f(x) g/(x)
3(3x2+2)
( x+1)( x+5)
(4)(x3+2x+1)2 (5) (x 1)4
~1-3-3~
[例題 3] 请利用 (sinx)/=cosx，(cosx)/= sinx 的结果证明： (tanx)/=sec2x，(secx)/=secx tanx
(練習 1.) 试求下列的导函数：
(1)x3 6x2+7x 11 (2)(x3+3x)2(2x+1) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1) (4)(2x3+x+1)5
证明：
(2)设 a 为 f(x)= n x 定义域中的任意点，
则
f
/(a)=
lim
xa
f(x) x
f(a) a
= lim n x xa x
n a = lim
a
x a (n x
nx na n a )[( n x )n 1 ( n x ) n 2 n a
1
1 1n 1
11
= n(n
a) n
1
=n( a
n
~1-3-2~
dx r [例題 1] 证明
dx
rx r 1, r Q 。
(6)若 f(x)， g(x)在 x=a 可微分，且 g(a) 0 ，
则 d ( f ( x) )|x a dx g( x)
f
/ (a) g( a) f ( a) g / ( a) ( g(a)) 2
。
因此可得： ( f (x) )/ g(x)
证明：
例如：试求 d (( x2 x 3)( 3x2 2x 1)) ? dx
下面我们要推导例 2 的一般情形：
d (a) ( f 1( x)
f 2( x)
f 3( x)) = df 1( x) f ( x) 2 f 3( x)
f 1( x) df 2 ( x) f 3( x)
dx
dx
dx
d (b) dx ( f 1 f 2
h/(a)= lim xa
h(x) h(a) xa
= lim xa
f ( x)
g(x) x
f ( a) a
g (a)
f(x) f(a) g(x) g(a)
f(x) f(a)
g(x) g(a)
= lim ( xa
xa
+
xa
)= lim ( xa
xa
)+ lim ( xa
xa
)
=f /(a)+g/(a)
f / ( x) g(x) f (x) g/ (x) ( g( x)) 2
若
f(x)=1，则
1 (g(x)
)/=
1 ( g( x)) 2
g / ( x)
例如：试求
x2 x2
1 x1
的导函数。
例如：求 (x2+1x+1)/=？
例如：设 r 为负有理数，证明 dx r
r
rx
1。
dx
结论：若设 r 为有理数，则 dxr rx r 1 。 dx
[例題 2] 求下列各函数的导函数：
(1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x 2)3(x2 1) (3)(x2+x+1)(4x3+x 4)(x+3)
3
(x+1)2
(3)x3+2x+1 (4)(x 1)3
Ans：(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x 2)2(5x2 4x 3)
(3)(2x+1)(4x3+x 4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x 4)
)=n
(an
)
.... ( n a) n 1]

(4)设 a 为任意实数， f(x)=sinx
f(x) x
f(a) sinx sina a = xa =
2 sin x a cos x a
2
2
xa
xa xa
计算 f /(a)=
f(x) f(a)
2sin
lim
xa
xa
= lim ( xa
cos
2
2
xa
)=cosa。
例：求 d ( x5 3 x ) ？ dx
推论：
dx d
(f1(x)+f2(x)+...+fn(x)) =
df 1 (x) dx
df 2 ( x) dx
~1-3-1~
df n ( x) dx
(2)设 f(x)为可微分的函数。 cf(x)为可微分的函数。
d
df(x)
d
df(x)
且dx(cf(x))=c dx ，特别 c= 1 时， dx( f(x))= dx 。
2
3
2
3
Ans：(1)3x 12x+7 (2)2(x +3x)(3x +3)(2x+1)+2(x +3x)
(3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1) (4x) (3x2+x+1)+ ( x+1)(2x2+2) (6x+1)
(4) 5(2x3+x+1)4 (6x2+1)
(1)(3)(5) 自证
(乙 )导数的四则运算
(1)f(x)与 g(x)为可微分的函数。 f(x)+g(x)为可微分的函数。
d
d
d
且dx(f(x)+g(x))= dx(f(x))+ dx(g(x))成立。
另一种表示： (f(x)+g(x))/=f /(x)+g/(x)
证明：令 h(x)=f(x)+g(x)，设 a 为 h(x)定义域中的任一点
fn )
df 1 dx
f2
fn
f1f2
df n (逐次轮流微分 ) dx
(c)如果 f1 f 2 例如：试求 ( x2
f n f ，则可得 d (( f ( x)) n dx
2x 3) 5 的导数。
n( f ( x)) n 1 df ( x) dx
f 1( x) f2 ( x) df 3( x) dx