专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程 :1 .圆的标准方程：x a? y b2 r2o2 •圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0）特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆2 2 2思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；3 .圆的参数方程：y a r s°s(为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元:(3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，02 )上的点，则圆的普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是(答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)；3(4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_(答: [0 , 2]);(5) 方程x 22- 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0)}， N (x, y) | y x b ,若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& )二、点与圆的位置关系：已知点M x 0,y 0及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 ,(1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。
b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。
b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CMrx 0a $y 0r 2。
女口点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2+ y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答:2 ^22,r x r cos , y r sin ； x y tx r cos ,y r sin(0 r .,t)。
X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程x x 1x X 2 yy 1 y y 20 如(1) 圆C 与圆(X 1)2y 2 1关于直线yx 对称， 则圆C 的方程为(答:x 2 (y 1)2 1);(2) 圆心在直线2xy 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答:(x 3)2 (y 3)29或(x 1)2 (y 1)2 1 )；三、直线与圆的位置关系：直线l : Ax By C 0和圆C：x a2y b 2r2r 0有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0 相交；0 相离；0 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则d r相交；d r相离；d r相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
如（1）圆2x2 2y2 1 与直线xsin y 1 0（ R, —k ，k z）的位置关系为（答：相离）；（2）若直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于点P（ 1,2），则ab的值（答:2）；（3）直线x 2y 0被曲线x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 ___________（答:4、5）；（4）一束光线从点A（- 1,1）出发经x轴反射到圆C:（2）2+（3）2=1上的最短路程是_____（答:4 ）；(5)已知M(a,b)(ab 0)是圆O : x2 y2r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l: ax by r2，则A. m//l，且l与圆相交 B . l m，且1与圆相交C. m//l，且l与圆相离 D . l m,且l与圆相离3 / 16（答：C ）；（6）已知圆C ： X 2 （y 1）2 5，直线 L : mx y 1 m 0。
①求证：对m R ， 直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB .17， 求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程 .（答：②60。
或120。
③最长：y 1，最短：X 1）第二部分 直线与圆的典型例题一、求圆的轨迹方程 1、用定义法求圆的轨迹方程圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解 m 3 4 m 2 1消去 m 得 y 4(X 3)2 1，由 m ( 1,1)得 3 ^°,4注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取 值范围，如题中x20,4变式1 方程ax 2 ay 2 4（a 1）x 4y 0表示圆，求实数a 的取值范围，并 求出其中半径最小的圆的方程。
设方程 x 2 y 2 2(m 3)x 2(1 4m 2)y 16m 49 0，若该方程表示一个解：配方得:2x (m 3)222y (1 4m 2)1 6m 7m 2该方程表示圆，则有1 6m 7m 20，得m （ 1，1），此时圆心的轨迹方程所求的轨迹方程是y 4（X 3）21，x20 ,472 2解：原方程可化为X 2(a 1) (y 2)2空aa aQ a 2 2a 2 0,当a 0时，原方程表示圆。
又 r4(a 2-fa —2) 洁 2(a ： 4a 4)2 2 a 2耳\ a 2a 2Va 2当a 2,rm^ 2，所以半径最小的圆方程为 x 厂y 22、用待定系数法求圆的轨迹方程例2求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并 判断点P(2,4)与圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要 判断点P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关 系，若距离大于半径，贝V 点在圆外；若距离等于半径，贝V 点在圆上；若距 离小于半径，贝V 点在圆内.解法一：(待定系数法)解之得：a 1 , r 2 20解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上， 又因为k AB I 1，故I 的斜率为1,又AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平1 3分线I 的方程为：y3x2即x y 1 0 .解析几何-求圆的轨迹方程(专题一)师用设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2r 2I 圆心在y 0上，故b 0 .二圆的方程为 (x a)2 y 2 r 2又T 该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.(1 (3a)216a)2 4 2r 2r所以所求圆的方程为(x 1)2 y 220又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1,0)二半径r AC、;(1 1)24 V20 .故所求圆的方程为(x 1)2寸20 .又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为d |PC J(2 1)242V25 r . •••点P 在圆外.说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例3 求半径为4,与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x a)2 (y b)2 r2.圆C与直线y 0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为G(a,4)或C2(a, 4). 又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切，则CA 4 3 7或CA 4 3 1 .(1) 当G(a,4)时，(a 2)2 (4 1)2 72，或(a 2)2 (4 1)2 12(无解)，故可得 a 2 2 10 .•所求圆方程为(x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或(x 2 2 10)2 (y 4)2 42.(2) 当C2(a, 4)时，(a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12(无解)，故 a 2 26 .二所求圆的方程为(x 2 2、6)2 (y 4)2 42，或(x 2 2、.6)2 (y 4)2 42. 说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y 0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a, 4)，且方程形如(x a)2 (y 4)2 42.又圆x2 y2 4x 2y 4 0，即(x 2)2 (y 1)2 32，其圆心为A(2,1)，半径为3. 若两圆相切，则CA 4 3 .故(a 2)2(4 1)272，解之得a 2 2 10 .所以欲求圆的方程为(x 2 2.10)2 (y 4)242，或(x 2 2..10)2(y 4)242.上述误解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y 0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况. 也是不全面的. 点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F ；(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数3 、用几何方法求圆的轨迹方程例4设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x 2y 0的距离最小的圆的方程。
分析:注意挖掘题目的条件，充分利用圆的几何性质解决问题.解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|, |a|。
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴的弦长为2r，故r2 2b2又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2 a2 1.从而得2b2 a2 1又点P(a,b)到直线x 2y 0的距离为 d |a 2b|75所以当且仅当a b 时上式等号成立，此时5d 2 3 4 1，从而d 取得最小值. 解此方程组得由于r 2 2b 2知r 、、2于是，所求圆的方程是:(x 1)2 (y 1)22或(x 1)2 (y 1)22解法二:同解法一得将a 2 2b 2 1代入上式，整理得 2b 2 4、-5db 5d 2仁0②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即8(5d 21) 0，得 5d 21所以5d 2有最小值1，从而d 有最小值 上52将其代入②式得2b ± 42=0.解得土 1.2 2 2 22将土 1代入r =2b ,得r =2.由r +1得土 1.2综上 土 1 ± 1 =2.由丨2b | =1知同号.于是,所求圆的方程是 (x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2点拨:求圆的方程通常有两类方法，一是几何法，即通过研究圆的性质、 直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量(圆心、半径)和圆的 方程，二是代数法，即根据题意设出圆的方程，再利用条件得到有关方程系 数的方程组，解方程组得到方程系数，从而求出圆的方程. 4 、直线与圆的位置关系2b5d 2得a 2 4b 2解析几何-求圆的轨迹方程(专题一)师用例5在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为 2 2的 圆C 与直线y x 相切于坐标原点0，求圆C 的方程。