2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10} 2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab210．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2 11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10}【分析】先求出A∪B，阴影区域表示的集合为∁U（A∪B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，∴A∪B＝{2，4，6}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：∁U（A∪B）＝{8，10}．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题P：∃n∈N，n3＜n为特称命题，则命题的否定为：∀n∈N，n3≥n．故选：D．3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】先利用幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，比较出a，c的大小关系，再利用指数函数y＝0.5x在R上单调递减，比较出a，b的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．解：∵幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且0.5＞0.3，∴0.50.2＞0.30.2，即a＞c，∵指数函数y＝0.5x在R上单调递减，且0.2＞0.1，∴0.50.2＜0.50.1，即a＜b，∴c＜a＜b，故选：C．4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]【分析】根据f（x）的定义域求出f（2x）的定义域即可．解：由题意得：0≤2x≤4，解得：0≤x≤2，故函数f（2x）的定义域是[0，2]，故选：D．5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t【分析】可看出A，B选项中的两个函数的定义域都不相同，不是同一个函数；选项C 的两函数的对应关系不同，不是同一个函数，从而只能选D．解：A．f（x）的定义域为R，g（t）的定义域为{t|t≠0}，定义域不同，不是同一个函数；B．f（x）的定义域为{x|x≤﹣2或x≥2}，g（t）的定义域为{t|t≥2}，定义域不同，不是同一个函数；C.，，对应关系不同，不是同一个函数；D．f（x）＝3x和g（t）＝3t的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选：D．6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]【分析】求解t＝x2+x+1的值域，结合反比例函数的性质可得函数y＝的值域；解：设t＝x2+x+1＝，即t∈[，+∞），函数y＝转化为y＝（），根据反比例函数的性质，可得0＜y．故选：C．7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%【分析】设降价百分率为x%，由题意知125（1﹣x%）3＝27，由此能够求出这种商品平均降价的百分率．解：设降价百分率为x%，∴125（1﹣x%）3＝27，即1﹣x%＝0.6解得x＝40．故选：A．8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]【分析】令t＝x2﹣2x，求出该二次函数的减区间，利用复合函数的单调性即可得到函数y＝的单调递增区间．解：令t＝x2﹣2x，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝1，则函数t＝x2﹣2x在（﹣∞，1]上是减函数，由外层函数y＝是减函数，由复合函数的单调性可得，函数y＝的单调递增区间是（﹣∞，1]．故选：B．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2【分析】由a＞b＞0，通过作差即可判断B，取特殊值即可判断ACD．解：A．取a＝﹣2，b＝1，可知＞不成立，因此A不正确；B．∵a＞b＞0，∴﹣＝＞0，∴＞，因此B正确；C．取a＝b＝1时，ab＝1，因此C不正确；D．取b＝0时，cb2＜ab2不正确，因此D不正确．故选：B．10．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2【分析】根据二次函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．解：由题意得：m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝恒成立，符合题意，m+1≠0时，f（x）的定义域是R，只需，解得：﹣1＜m≤2，综上：m∈[﹣1，2]，故选：C．11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）【分析】由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，即可判断．解：f（x）的图象关于原点对称，g（x）的图象关于y轴对称，由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，故g（x）＝f（﹣|x|），故选：C．12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]【分析】因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求方程解的问题，进而可以求解．解：f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，∴（）2﹣2m•3+m2﹣2＝﹣（3）2+2m•﹣m2+2，∴2m2﹣4＝﹣（3）2﹣（）2+2m（3+）＝﹣（3+）2+2+2m（3+），∴2m2﹣6＝﹣（3+）2+2m（3+），设t＝3+，则t≥2，∴2m2﹣6+t2﹣2mt＝0，即t2﹣2mt+2m2﹣6＝0在t∈[2，+∞）有解，令g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣6，t∈[2，+∞），其对称轴为x＝m，当m≥2时，则△＝4m2﹣4（2m2﹣6）≥0，解得2≤m≤，当m＜2时，f（2）＝4﹣4m+2m2﹣6≤0，解得1﹣≤m＜2，综上所述m的取值范围为[1﹣，6]，故选：A．二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝10．【分析】利用分段函数的性质求解．解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2×12+1＝3，f[f（1）]＝f（3）＝2×3+4＝10．故答案为：10．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝4a．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．解：原式＝﹣24÷（﹣6）＝＝4a．故答案为：4a．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为[1，+∞）．．【分析】由题意求出不等式﹣x2+4x﹣3≥0的解集，即可得出实数m的范围．解：∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0成立，可令﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，所以实数m的范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，由此分类讨论即可得出结果．解：作出函数f（x）的图象如图所示，由图可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，且当k＜﹣2时，方程f（t）＝k无实根，当k＝﹣2时，方程f（t）＝k有唯一实根，当﹣2＜k＜0时，方程f（t）＝k有2个实根，当k＝0或k≥1时，方程f（t）＝k有3个实根，当0＜k＜1时，方程f（t）＝k有4个实根，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，此时t∈（﹣2，+∞），故方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根等价于f（t）＝k的实根至少有3个，当k＝0时，f（t）＝k的三个根均大于﹣2，符合题意；当时，f（t）＝k的四个根均大于﹣2，f（|x|﹣2）＝k有8个不同的实数根，不合题意；当时，此时f（|x|﹣2）＝k有7个不同的实数根，不合题意；当时，f（t）＝k只有三个均大于﹣2的不同实根，符合题意．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别化简集合A，B，根据集合的补集和交集即可求出；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，可得B⫋A，即可得到，解得即可．解：（1）由＜0，解得﹣5＜x＜，故A＝（﹣5，），∴∁R A＝（﹣∞，﹣5]∪[，+∞）当a＝4时，x2﹣16x+48＜0，解得4＜x＜12，即B＝（4，12），∴（∁R A）∩B＝[，12），（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，可得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，解得a＜x＜3a，即B＝（a，3a），命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，∴B⫋A，∴，解得0＜a≤，故实数a的取值范围（0，]．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．【分析】（1）根据条件，可得a3+b3﹣a2b﹣ab2≥0，从而证明不等式成立；（2）根据条件，可得＝，然后利用基本不等式，即可求出的最小值．解：（1）证明：∵a＞0，b＞0．∴a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a2﹣b2）（a﹣b）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2．（2）∵a＞0，b＞0，a+b＝3，∴＝＝，当且仅当，即a＝1，b＝2时取等号，∴的最小值为3．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．【分析】（1）根据f（0）＝0，求出b的值，求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．解：（1）函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，则f（0）＝b+1＝0，解得：b＝﹣1，故f（x）＝；（2）任意x1，x2∈（﹣1，1），设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+1＞0，+1＞0，x2﹣x1＞0，且x1，x2∈（﹣1，1），x1x2﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（﹣1，1）上递增．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．【分析】（1）求出f（1）的值，根据函数的单调性求出f（x）的值域即可；（2）根据函数的解析式求出函数的单调性即可；（3）问题转化为（x+2）（ax﹣1）≥0，通过讨论a的范围，求出x的范围即可．解：（1）f（1）＝＝，f（x）＝＝1﹣，x→+∞时，f（x）→1，x→﹣∞时，f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1）；（2）f（x）在R单调递增；（3）由（1）f（1）＝，f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥即f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥f（1），即ax2+（2a﹣1）x﹣2≥0，即（x+2）（ax﹣1）≥0，①a＝0时，﹣（x+2）≥0，解得：x≤﹣2，②a＞0时，∵＞0＞﹣2，解得：x≥或x≤﹣2，③﹣＜x＜0时，＜﹣2，要使（x+2）（ax﹣1）≥0，解得：≤x≤﹣2，④a＝﹣时，（x+2）（ax﹣1）＝﹣（x+2）≤0，解得：x＝﹣2，⑤a＜﹣时，＞﹣2，解得：﹣2≤x≤．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．【分析】（Ⅰ）对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6，化简整理，再由投入资金都不低于25万元，解不等式求得定义域；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230，由配方和二次函数的值域求法，即可得到所求最大值．解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6＝﹣x+6+230，由，解得25≤x≤175，所以函数的定义域为[25，175]；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230＝﹣（t﹣6）2+248，因为x∈[25，175]，所以t∈[5，5]，当t∈[5，6]时函数单调递增，当t∈[6，5]时函数单调递减，所以当t＝6时，即x＝36时，y max＝248，答：当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大．最大总利润为248万元．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．【分析】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，要使存在一个最大的正数T（﹣1），在区间[0，T（﹣1）]上，﹣3≤f（x）≤2恒成立，T（a）只能是﹣x2+4x ＝2较小的根即可；（2）利用二次函数的性质求出函数的最大值，研究二次函数的最值与2的大小关系，分类讨论，可求T（a）的表达式；（3）由（2）中所得的表达式，求其最值即可．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，因为函数f（x）的最大值大于2，要使存在一个最大的正数T（﹣1），当0≤x≤T（﹣1）时，恒有﹣3≤f（x）≤2，所以T（﹣1）只能是﹣x2+4x＝2较小的根2﹣．（2）由a＜0，f（x）＝a（x+）2﹣，当﹣＞2，即﹣2＜a＜0时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝2的较小的根，即T（a）＝；当﹣≤2，即a≤﹣2时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝﹣3的较大的根，即T（a）＝；所以T（a）＝．（2）当﹣2＜a＜0时，T（a）＝＝＜1；当a≤﹣2时，T（a）＝＝≤；所以T（a）的最大值为．。