广西柳州高中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x−2>0}，则集合A∩B=()A. (0,2)B. (0,3)C. (2,3)D. (2,+∞)2.若幂函数的图象经过点(3,√33)，则该函数的解析式为()A. y=x3B. y=x13C. y=x−3D. y=x−13.函数f(x)=e x+3x的零点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.已知向量a⃗与b⃗ 不共线，且a⃗⋅b⃗ ≠0，若c⃗=a⃗−|a⃗ |2⋅b⃗a⃗ ⋅b⃗，则向量a⃗与c⃗的夹角为()A. π2B. π6C. π3D. 05.已知函数f(x)=log12(x2−4x−5)，则函数f(x)的单调递减区间是()A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (5,+∞)D. (−∞,−1)6.为得到函数y=2sin(x3+π6)的图象，只需把函数y=2cosx的图象上所有的点()A. 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B. 向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C. 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D. 向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 7.圆的半径是6cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A. π2cm2 B. 3π2cm2 C. πcm2 D. 3πcm28.函数f(x)=sinx·ln|x|的部分图象为()A. B.C. D.9. 已知△ABC ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 设a =log 123，b =(13)0.3，c =213，则a,b,c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c11. 函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−2]⋃[2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)⋃(2,+∞)12. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，满足f(x)=f(2−x)，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20)=( )A. −20B. 0C. 2D. 20二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. log 3√27+lg25+lg4+(18)−23= ______ ．14. 已知A (−1,−2),B (2,3),C (−2,0),D (x,y )，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y =__________． 15. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为______．16. 已知a >0，函数f(x)=x −ax ,x ∈[1,2]的图像的两个端点分别为P ，Q ，点M 为函数f(x)图像上的任意一点，过点M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段PQ 交于点N ，若|MN|⩽2恒成立，则实数a 最大值为 __________ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,y)，且tanα=−43，(1)求sinα+cosα的值； (2)求sin(π−α)+2cos(π+α)sin(32π−α)−cos(32π+α)的值．18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为2π，最小值为−2，图3象过点．(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(x)=1，且x∈[0,π]的x的集合．19.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，m⃗⃗⃗ =(b,2a−c)，n⃗=(cosC,−cosB)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(1)求角B的大小；(2)求sinA+sinC的取值范围．20.已知奇函数f(x)=a+1．4+1(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)解不等式f(2x−1)+f(2−3x)>0．21.已知向量a⃗=(2sinx,2sinx)，b⃗ =(cosx,−sinx)，求函数f(x)=a⃗⋅b⃗ +1．(1)如果f(x)=1，求sin4x的值．2)，求f(x)的取值范围．(2)如果x∈(0,π222.设定义在(0,+∞)上的函数满足下面三个条件：①对于任意正实数a，b，都有f(a⋅b)=f(a)+f(b)−1；②f(2)=0；③当x>1时，总有f(x)<1)的值；(1)求f(1)及f(12(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数．a+1>0对任意x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值范围．(3)若不等式f(x)−12-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|x−2>0}={x|x>2}，则集合A∩B={x|2<x<3}，故选：C．直接根据两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：B解析：本题考查了幂函数的定义和性质的应用问题，是基础题．利用幂函数的定义和待定系数法求出解析式即可．解：设幂函数f(x)=xα(α为常数)，3)，，∵幂函数f(x)的图象过点(3,√33，∴3α=√3，解得α=13∴f(x)=x13.故选B.3.答案：B解析：本题主要是考查零点存在性定理的应用，属于基础题.解答本题的关键先判断出函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断．解：由指数函数的性质可知，函数f(x)=e x+3x是增函数，又∵f(0)=1>0，f(−1)=e−1−3 <0，，∴函数f(x)=e x+3x在区间(−1,0)内存在唯一的一个零点，即零点个数是1．故选：Ｂ．4.答案：A解析：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．运用向量的数量积的定义和性质，求出向量a，c的数量积，即可判断．解：由于向量a⃗与b⃗ 不共线，a⃗⋅b⃗ ≠0，，且c⃗=a⃗−|a⃗|2⋅b⃗a⃗ ⋅b⃗则c⃗⋅a⃗=a⃗2−a⃗2⋅(a⃗ ⋅b⃗)=a⃗2−a⃗2=0，a⃗ ⋅b⃗即有a⃗⊥c⃗．．则向量a⃗与c⃗的夹角为π2故选A．5.答案：C解析：本题主要考查复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．解：要使函数有意义，则x2−4x−5>0，即x>5或x<−1，设t=x2−4x−5，则当x>5时，函数t=x2−4x−5单调递增，当x<−1时，函数t=x2−4x−5单调递减．∵函数在定义域上为单调递减函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，当x>5时，函数f(x)单调递减，即函数f(x)的递减区间为(5,+∞)．故选C．6.答案：D解析：由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．解：把函数y=2cosx=2sin(x+π2)的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，可得y=2sin(x+π6)的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变，可得函数y=2sin(x3+π6)的图象，故选：D．7.答案：B解析：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用扇形面积公式12lr=12αr2，即可求得结论．解：15°化为弧度为π180×15=π12，∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12lr=12αr2=12×π12×36=3π2cm2.故选B．8.答案：A解析：本题考查了函数图象的作法和函数的奇偶性，得出f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除C、D，当x∈(0,1)时，f(x)<0，则排除B，即可得出结论．解：f(x)=sinx·ln|x|的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=sin(−x)·ln|−x|=−sinx·ln|x|=−f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排当x ∈(0,1)时，f(x)<0，则排除B ， 故选A ．9.答案：A解析：本题考查向量的加法、减法、数乘运算．由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的加法、减法运算及已知条件可得答案． 解：由题意结合向量的加减运算法则可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ．10.答案：B解析：本题主要考查了对数函数及其性质，指数与指数幂的运算，比较大小的应用，解题的关键是熟练掌握对数函数及其性质，指数与指数幂的运算，比较大小的计算，根据已知及对数函数及其性质，指数与指数幂的运算，比较大小的计算，可知a ，b ，c 与0，1的大小关系，可知a,b,c 的大小关系． 解：∵a =log 123<0，0<b =(13)0.3<1，c =213>1，∴a <b <c ． 故选B ．11.答案：D解析：本题考查函数的零点与方程根的关系．若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则△>0，解得答案．解：若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则方程x 2+ax +1=0有两个不同的根， 则△=a 2−4>0，解得：a >2或a <−2． 故选D ．解析：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键，属于中档题．根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．解：由题意，f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(2−x)，∴f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，f(0)=0，则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1−2)=f(−1)=−f(1)，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+0−f(1)+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20)=0．故选B．13.答案：152解析：解：原式=log332+lg102+2−3×(−23)3+2+4=32=15．2．故答案为：152利用对数与指数幂的运算法则即可得出．本题考查了对数与指数幂的运算法则，属于基础题．14.答案：112解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3),两个向量的坐标列出等式即可求得答案． 解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3), ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(−1,2)=2(x −2,y −3)． ∴{2=2(y−3)−1=2(x−2)，解得，故答案为112．15.答案：π2(答案不唯一)解析：本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题． 由两角和差公式，及辅助角公式化简得f(x)=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=22，sinθ=22， 结合题意可得√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，解得φ，即可得出答案．解：f(x)=sin(x +φ)+cosx=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx=sinxcosφ+(1+sinφ)cosx=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，sinθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，所以f(x)最大值为√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，所以cos 2φ+(1+sinφ)2=4，即2+2sinφ=4，所以sinφ=1，所以φ=π2+2kπ，k ∈Z ，当k =0时，φ=π2．故答案为：π2(答案不唯一)． 16.答案：4(3+2√2)解析：本题考查直线方程，考查一元二次方程的解法，考查不等式恒成立问题，属于中档题．由P ，Q 的坐标可以将直线PQ 的方程找到，通过M 点坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值． 解：∵f(x)=x −a x (x ∈[1,2])，a >0，∴P(1,1−a)，Q(2,2−a 2)∴直线PQ 的方程为y =(1+a 2)x −3a 2， 设M(t,t −a t )，x ∈[1,2]，∴N (t,(1+a 2)t −3a 2) ∵|MN|≤2恒成立，∴|(1+a 2)t −3a 2−t +a t |≤2恒成立， ∴|a ·t 2−3t+22t |=|a ·(t−1)(t−2)2t |≤2，∴−a ·(t−1)(t−2)2t≤2， 即a ≤−4t (t−1)(t−2)=−4t+2t −3∴由基本不等式得：a ≤2√2−3=3−2√2=4(3+2√2) 此时t =√2，∴a 的最大值为4(3+2√2)．17.答案：解：(1)∵角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,y)，tanα=y 3=−43， ∴y =−4，∴r =√x 2+y 2=5，∴sinα=−45，cosα=35， 则sinα+cosα=−15；(2)∵sinα=−45，cosα=35，∴tanα=−43，则原式=sinα−2cosα−cosα−sinα=tanα−2−1−tanα=−43−2−1+43=−10313=−10．解析：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．(1)根据P坐标，利用任意角三角函数定义表示出tanα，将已知tanα的值代入求出y的值，确定出P 到原点的距离r，再利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，即可确定出sinα+cosα的值；(2)原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．18.答案：解：(1)由趣意得，A=2，T=2π|ω|=2π3，又ω>0，故ω=3．又函数f(x)的图象过点，代入得，φ=−5π3+kπ，k∈Z．因为，所以φ=π3．故．(2)由f(x)=1，得，得3x+π3=2kπ+π6或3x+π3=2kπ+5π6，k∈Z．解得x=23kπ−π18或x=23kπ+π6，k∈Z．又x∈[0,π]，所以满足题意的x的集合为．解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．(1)由最小正周期求出ω的值，再由最小值求出A的值，再由图象过定点求出φ的值，即可求出函数的解析式；(2)利用正弦函数的性质进行求解即可．19.答案：解：(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，得bcosC=(2a−c)cosB，∴bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin(B+C)=2sinAcosB．又B+C=π−A，∴sinA=2sinAcosB，又sinA≠0，∴cosB=12，又B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵A+B+C=π，∴A+C=2π3，∴sinA+sinC=sinA+sin(2π−A)=sinA+sin 2π3cosA−cos2π3sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π6)，∵0<A<2π3，∴π6<A+π6<5π6，∴12<sin(A+π6)≤1，∴√32<sinA+sinC≤√3．故sinA+sinC的取值范围是(√32,√3]．解析：(1)通过向量的数量积化简表达式，利用正弦定理以及两角和的正弦函数，求出角B的余弦值，即可得到B的大小；(2)利用B的大小，结合三角形的内角和，利用两角和的正弦函数化简sinA+sinC为A的三角函数，然后求解它的取值范围．本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.答案：解：(1)∵奇函数f(x)=a+14x+1的定义域为R，∴f(0)=0，即f(0)=a+11+1=a+12=0，则a=−12，则f(x)=14x+1−12．(2)f(x)=14x+1−12在(−∞,+∞)是为减函数证明：任取x1，x2，设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=14x1+1−14x2+1=4x2−4x1(1+4x1)(1+4x2)，∵x1<x2，∴4x2>4x1，∴4x2−4x1，>0，∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)是减函数(3)∵f(2x−1)+f(2−3x)>0，∴f(2x−1)>−f(2−3x)∵f(x)是奇函数，∴f(2x−1)>−f(2−3x)=f(3x−2)，即2x−1<3x−2，得x>1，即不等式的解集为(1,+∞)解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键，本题属于中档题．(1)根据函数是奇函数，利用f(0)=0，进行求解即可．(2)根据函数单调性的定义进行证明即可．(3)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．21.答案：解：∵a⃗=(2sinx,2sinx)，b⃗ =(cosx,−sinx)，∴f(x)=a⃗⋅b⃗ +1=2sinxcosx−2sin2x+1=sin2x+co2x=√2sin(2x+π4)，(1)∵f(x)=12，∴√2sin(2x+π4)=12，∴sin(2x+π4)=√24，∴sin4x=−cos(4x+π2)=−cos2(2x+π4)=−[1−2sin2(2x+π4)]=−1+2×12=0，(2)∵x ∈(0,π2)， ∴2x +π4∈(π4,5π4)，∴−√22<sin(2x +π4)<1，∴−1<√2sin(2x +π4)<√2，∴f(x)的取值范围(−1,√2).解析：计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f(x)的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；(1)借助诱导公式和二倍角公式，求出sin4x 的值．(2)先求出2x +π4的范围，再根据正弦函数的单调性，求出函数的值域．本题考查了三角函数的二倍角公式，三角函数的化简，向量的数量积，属于中档题． 22.答案：(1)解：∵f(a ·b)=f(a)+f(b)−1，∴令a =b =1，得f(1)=1，∵f(2)=0，f(1)=f(2×12)=f(2)+f(12)−1=1，∴f(12)=2； (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)−f(x 2x 1·x 1)=f (x 1)−f (x 2x 1)−f (x 1)+1=1−f (x 2x 1) ， ∵x 2x 1>1，∴f(x2x 1)<1， ∴f(x 1)−f(x 2)>0，∴f(x)在(0,+∞)上是减函数；(3)解：不等式f(x)−12a +1>0对任意x ∈[1,2]恒成立可转化为f(x)min >12a −1由(2)可知f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)min =f(2)=0，所以12a −1<0，解得a <2，所以实数a 的取值范围为(−∞,2)．解析：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．(1)令a=b=1，则f(1)=1，只需要利用特值得方法即可解答；(2)要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可解答；(3)将不等式f(x)−12a+1>0对任意x∈[1,2]恒成立可转化为f(x)min>12a−1，利用单调性求出最小值，即可得到a的取值范围．。