参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校上海电力学院参赛队号10256084队员姓名1.王亚楠2.李浩然3.吴正阳参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目面向节能的单/多列车优化决策问题摘要：关键词：列车；节能优化；惰性控制；巡航控制一问题重述轨道交通系统的能耗是指列车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产生的能耗。

根据统计数据，列车牵引能耗占轨道交通系统总能耗40%以上。

在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。

请研究以下问题：一、单列车节能运行优化控制问题（1）请建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

（2）请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在A7车站停站45秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间），列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

二、多列车节能运行优化控制问题（1）当100列列车以间隔H={h1,…,h99}从A1站出发，追踪运行，依次经过A2，A3，……到达A14站，中间在各个车站停站最少D min秒，最多D max秒。

间隔H各分量的变化范围是H min秒至H max秒。

请建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。

要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为T0=63900秒，且从A1站到A14站的总运行时间不变，均为2086s（包括停站时间）。

假设所有列车处于同一供电区段，各个车站间线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

补充说明：列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车（后车）速度不能超过限制速度，以免后车无法及时制动停车，发生追尾事故。

其计算方式可简化如下：其中是列车当前位置的线路限速（km/h），是当前时刻前后车之间的距离(m)，是列车制动的最大减速度(m/s2)（2）接上问，如果高峰时间（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。

请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。

三、列车延误后运行优化控制问题接上问，若列车i在车站A j延误（10秒）发车，请建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。

假设为随机变量，普通延误（0<<10s）概率为20%，严重延误（>10s）概率为10%（超过120s，接近下一班，不考虑调整），无延误（0）概率为70%。

若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，如何对第二问的控制方案进行调整？二基本假定和符号规定2.1基本假定1.假定忽略列车运行过程中的工况转换时间2.假定忽略列车上空调等设备的能耗3.假定忽略列车上乘客的体重4.假定忽略乘客的舒适度5.假设电网中有足够的消耗电阻来消耗多余的能量6.假定忽略能量传递对网压的影响2.2符号规定文章中所用主要符号与意义说明如表1所示，其他见正文。

三 优化方案分析3.1 文中难点的理解分析对μ值的理解分析：题目中已经给出μ值的定义，为实际输出的牵引加速度与最大加速的的百分比。

由公式μ===maxmax maxF FMa Ma a a 可以反向理解，笔者认为μ就相当于实际列车运行过程中的油门。

由于文中要求节能的运行方式，列车参数中限定了最大加速度，牵引力过大只能导致“空转”，空耗能，所以在对后面的题目求解过程中实际输出的牵引力F 分为两种情况：(1).当最大牵引力产生的加速度max 'a a ≤，则max F F =。

(2).当最大牵引力产生的加速度max 'a a ≥，则max max a MF =-ωμ，即maxmax F Ma ωμ+=。

制动中的μ类似。

对坡道的理解分析：由题目给出的附件中的车站公里标可以看出，类似于A6-A7的时候坡道系数应该取反。

原理图如下：图1 坡道的理解图如上图1所示，正方向为上坡的时候，反方向为下坡。

类似的，正方向为下坡的时候，反方向为上坡。

对列车线路曲率为0情况的理解分析：在题中给出列车曲线阻力为：R c w c /=，列车行驶过程中曲率半径R=0m 的情况，并非列车曲线阻力c ω为无穷大。

相反，R 为0m ，代表为“直路”，在后面问题的求解算法中，均加入判定条件，若R 为0m ，则c w =0N 。

3.2 问题（一）分析建模与结果3.2.1 问题（一）（1）分析问题（一）（1）是求A6-A7站间的节能优化驾驶方案。

最优的操纵序列的选取：针对一些路况的驾驶采用的驾驶阶段题目说明中已经给出分析：列车在平道或者坡度较小的线路上时，理论上存在最优的操纵序列：最大加速-恒速-惰行-最大制动。

当运行路线较短时，只有3个控制阶段，即“最大加速-惰行-最大制动”。

论文XX 中提出一种最优的惰行控制方案，惰行控制即在制动降速前惰行，减少牵引能耗，通过选择合适的惰行点从而实现全程运行节能。

问题的最终是求能耗的最优，上文中所提出的四个阶段中，只有牵引阶段和巡航阶段是耗能的，而惰行阶段和制动阶段是不产生耗能的。

结合问题（一）（1）中的问题，即需要惰行阶段的时间越长越好，而理想状况是“最大牵引-惰行至终点”在后面的算法得出不能同时满足时间和距离这两方面的约束。

故得到问题的节能最优驾驶方案为：最大加速-惰行-最大制动。

线路中限速情况的分析说明：从附件中可以查出两站间的距离为1354m ；前120m 的限速为55h km /，后面1234m 的限速为80h km /。

根据列车最大牵引加速到第一次限速1m V值时有没有到达新的限速值阶段，理论上存在如图2上面的两种情况。

为了定性分析实际属于哪种情况，本文特将列车以最大牵引加速至第一限速55h km /,所行驶距离为121m ，而55h km /限速段距离为120m 。

当列车加速到55h km /时，已经进入80h km /的限速段。

通过上述分析，最终得到结果从A6-A7的路况列车节能最优的方案为情况2。

另外，题中给出了从A6到A7的运行时间为110s ，为了更好的寻找最优能耗的运行方案，算法在运行时间的基础上给予一定的裕量--富裕时间，为s 1±。

图2 对于限速情况的考虑3.2.2 问题（一）（1）建模与算法优化驾驶模型是一个同时含有等式约束和不等式约束的非线性规划问题。

本文对问题一的建模如下： 牵引阶段：∑==Ni i ii dL FE 1max **μ；N 为牵引阶段的总步长数，i μ、i F max 为每个步长对应μ、m ax F 实时的取值，i dL 为每个步长列车对应行驶的距离。

巡航阶段：∑==11*N i idL jE ω；由于ω=实际F（阻力），且只有0>ω时，此时j=1,牵引力才做功；当0<ω时，j=；此时没有牵引力，只有制动力，故没有耗能。

惰行阶段：0=E ，不耗能。

制动阶段：0=E ，不耗能。

目标：∑==ni iE E 0min ；E 为能耗，n 为阶段数。

约束条件：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<==<==∑∑==；；；；总总max 1max 0)(1354)()(110a t a m L L t V t V s t t n i i ni i惰行点与制动点的求取：整个最优方案中最重要的一环就是惰行点与制动点的选取，本文中采用的求解方法为：如图3所示，由于本题中1m V 限速并没有影响，首先求取列车以最大牵引加速到第二次限速2m V 可以得到一条牵引曲线；类似，通过反向推理，在终点A7处反向推出制动曲线。

图3 问题一算法原理说明图然后在牵引曲线选择步长进行迭代运算惰行曲线，由于制动曲线是在终点处方向算出的，迭代中只需满足以下两个条件：（1）以牵引曲线上采样点为基础得出的惰行曲线必须得与制动曲线有交点。

即一直惰行至速度为0时，距离必须超过终点。

（2）牵引阶段、惰行阶段和制动阶段三部分时间相加总和在110s 左右富裕时间1s ，富裕时间在上文已交代过。

此种方法可以得出多组解，由于题中要求的是求节能最优方案，而上述三个阶段中只有牵引阶段是耗能的，所以只需取1t 最小值的那组解即为所求解。

具体主要算法程序见附录XXX ，全部程序见附件XXX 。

算法伪代码如下所示：算法伪代码（一）： 列车运行惰行点与制动点的寻找算法（主要） 1.计算从起点即v =0、T=0时的牵引曲线，采样点共N 个。

2.从110s 终点处方向求解制动曲线，采样点共M 个。

3.for i=1; i ≤N; i++ do4.以牵引曲线第i 个采样点作为惰行阶段的初始点，计算惰行曲线。

5.如果惰行曲线重点的公里标<A7公里标，执行6，否则返回3。

6.寻找惰行曲线与制动曲线的交点b 。

7.如果整个时间）（111,109∈T ，执行8，否则返回3。

8. end for9.计算总耗能。

3.2.3 问题（一）（1）算法结果分析根据上述方法建模与算法，得到问题一（1）中的距离速度曲线如图4所示。

为了更好对上文的限速情况进行分析，特用小图局部放大了公里标在13747m 处限速改变时的情况，证明前面所分析是正确有效的。

根据图4可以得出如下分析结果：图4 问题一(A)的迭代结果图1.列车从A6站开始以最大牵引加速，在限速55h km /的下是没有影响的。

加速到速度为64.05h km /的时候，开始惰行，牵引阶段的时间为20.90s 。

2.到20.90s 时列车开始惰行，不产生能耗，惰行至98s 时，列车速度降为41.47h km /。

惰行阶段时间约为78s.3.到98s 时，列车开始制动，最大制动减速，当约为111s 时，列车速度降为0h km /,刚好行驶1354m ，到达A7站。

将问题（一）(1)的求解结果统计在表格2中：表2 A6-A7最节能方案结果 站间距离/m 运行时间/s 惰行距离/m 惰行点 位置 （公里标） 制动点 位置 （公里标） 能耗/(J)1353.6111s106613380m12314m71049.3⨯另外，求解中关键点μ的牵引阶段各个时刻的取值也统计在了附录XXX 中，其余各相关值已按要求填写至文件“数据格式.xlsx ”中。

3.2.4 问题（一）（2）分析问题一（2）和（1）的相比，模型需要做出了很大的一些改变。