22
度关系曲线
u一般可以认为，在温度不很高时，能量大于费米 能级的量子态基本上没有被电子占据，而能量小 于费米能级的量子态基本上 为电子所占据，而电 子占据费米能级的概率在各种温度下总是1/2。
E－EF>5k0T, f(E)<0.007;
E－EF<-5k0T, f(E)>0.993
f
E
1
1 exp( E
载流子：导带电子和价带空穴
★载流子的产生过程： •导带电子的来源：本征激发中由价带跃迁 到导带的电子；施主杂质电离，由施主能 级跃迁到导带的电子。 •价带空穴的来源：本征激发；受主杂质电 离，接受价带跃迁到受主能级的电子后， 在价带留下的空穴。
★载流子的复合过程：
导带电子跃迁回到价带空位中，使电子、 空穴同时消失；
EF
)
k0T
E
EF可看成量子态是否被 电子占据的一个界限。
被电子占据
的概率0%
EF
T=0k
T>0K时
E E
EF EF
, 则f (E) 1/ 2 , 则f (E) 1/ 2
E EF , 则f (E) 1/ 2
被电子占据的 概率100%
EF是量子态基本上被电子占
1 f(E)
据或基本上是空的一个标志。 费米分布函数与温
27
• 例题： 当 E EF为 1.5k0T、4k0T、10k0T 时，分别用 费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据
各该能级的概率。 解：费米分布函数为：
玻尔兹曼分布函数为：
f
(E
)
1
1 exp( E
EF
)
k0T
EEF
fB (E) e k0T
将 E EF = 1.5k0T , 4k0T ,10k0T 代入
u 对价带中的所有量子态来说
被空穴占据的概率，一般都满足 1 f E 1
故其空穴分布可用玻耳兹曼分布函数描写
非简并性系统：服从玻耳兹曼统计律的电子系统
简并性系统：服从费米统计律的电子系统
思考：导带中绝大多数电子分布在导带底附近
价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近 26
•非简并半导体和简并半导体 非简并半导体：导带电子或价带空穴数量少，载流 子在能级上的分布可以用波尔兹曼分布描述的半导 体导，带其 底E特c征和是价费带米顶能Ev级。EF处于禁带之中，并且远离 简并半导体：导带电子或价带空穴数量很多，载流 子在能级上的分布只能用费米分布来描述的半导体 ，带其之特 中。征是EF接近于Ec或Ev，或者EF进入导带或价
•同理可得价带顶附近的情况 •价带顶附近E(k)与k关系
E(k)
Ev
2
(k
2 x
k
2 y
2m*p
k
2 z
)
•价带顶附近状态密度也可以写为：
gv (E)
V
2 2
(2m*p ) 32 3
(Ev
E
)
1 2
但对硅、锗这样的半导体，价带是多个能带简并 的，相应的有重和轻两种空穴有效质量，所以公 式中的mp *变化为一种新的形式。
dZ
2V
8 3
4k 2dk
将k用能量E表示
k
2
(2mn* )(E 2
Ec )
kdk
mn*dE 2
k2
(2mn* )(E 2
Ec )
k
(2mn* )1/ 2 (E
Ec )1/ 2
代入k，kdk
mn*dE 2
得到：
dZ
2V
8 3
4k 2dk
V
2 3
(2mn* ) 32 3
(E
1
Ec ) 2 dE
•根据公式，对于各向同性半导体
E
EF E k0T
EF
B e k0T
E
1 f E Be k0T
空穴的玻耳兹曼分布函数
说明:
EF
E
k0T时，
空穴占据能量为E的量子态的概率很小 即这些量子态几乎都被电子所占据了
25
半导体中，EF常位于禁带内，且与导带底或价带顶的距离远大于k0T
u 对导带中的所有量子态来说
被电子占据的概率，一般都满足 f(E)<<1 故其电子分布可用玻耳兹曼分布函数描写
EF
)
k0T
23
§3.2.2 玻耳兹曼分布函数
f
E
1
1 exp( E
EF
)
k0T
量子态被电子占据的概率很小，泡利原理 失去作用，两种统计的结果变成一样了
E EF k0T
在一定T时，电子占据能量为E的量子态的概率
exp
E EF k0T
1
E
由指数因子 e k0T 所决定。
玻耳兹曼分布函数
EEF
半导体物理学
一．半导体中的电子状态 二．半导体中杂质和缺陷能级 三．半导体中载流子的统计分布 四．半导体的导电性 五．非平衡载流子 六．pn结 七．金属和半导体的接触 八．半导体表面与MIS结构
第3章 半导体中载流子的统计分布
l 3.1 状态密度 l 3.2 费米能级和载流子的统计分布 l 3.3 本征半导体的载流子浓度 l 3.4 杂质半导体的载流子浓度 l 3.5 一般情况下的载流子统计分布 l 3.6 简并半导体
EF E
fB E e k0T e k0T e k0T
EF
令 A e k0T
E
fB E Ae k0T
24
玻耳兹曼分布函数
E
fB E Ae k0T
能量为E的量子态被电子占据的概率
1 f E： 能量为E的量子态不被电子占据的概率
也就是量子态被空穴占据的概率
1 f E
1
1
exp
EF k0T
f(E)
电子在量子态中分布
E到E+dE之间被电子占据的量子态f(E)g(E)dE
29
对导带而言：E→E+dE之间，量子态 dZ gc EdE
被电子占据量子态 f EdZ f Egc Ed E
一个被占据量子态对应一个电子
在能量区间求和，即从导带底 到导带顶对f(E)gc(E)dE积分
导带中的
电子浓度
30
除以半导体体积
能带中的电子总数
简单能带
f(E)
g(E) 1 - f(E)
非简并
g(E)f(E)
31
(1)非简并情况下，导带中电子浓度
E→E+dE间的电子数dN dN fB Egc EdE
3
gcE
dZ dE
V
2
2
2mn* 3
2
E
Ec
1 2
f B E
E EF
e k0T
3
dN
V
2
2
电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布
函数。
f
E
1
1 exp( E
EF
)
k0T
EF：费米能级或费米能量，与温度、半导体材料的导电类
型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
一个很重要的物理参数
在一定温度下电子在各量子 态上的统计分布完全确定
17
将半导体中大量电子的集体看成一个热力系统，
由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势：
EF
F N
T
μ：系统的化学势， F：系统的自由能
意义：当系统处于热平衡状态，也不对外界作功的 情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的 变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米 能级。
19
习题
• 计算能量在 E EC 到 E EC 100(h2 / 8mn*L2 )
之间单位体积的量子态数。
计算状态密度的方法：
算出单位k空间中量子态（k空间状态密度）→算出k空间中能量E
到E+dE间所对应的k空间体积，并和k空间的状态密度相乘，求出
dZ→利用
g(E) dZ dE
求出。
dE dZ
k空间
k空间状态密度 k空间体积
3.1.1 k空间中量子态的分布
1.先计算单位k空间的量子态密度
晶体中K的允许值为：
适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计.
(1)费米分布函数 f(E)
一定温度下： 低能量的量子态 电子跃迁 高能量的量子态
单个电子 大量电子
能量时大时小，经常变化
在热平衡状态下，电子按能量 大小具有一定的统计分布规律
电子在不同能量的量子态上 统计分布概率是一定的
15
量子统计理论 服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律。
状态密度与能量的关系
•②对于各向异性，等能面为椭球面的情况：
设导带底共有s个对称状态， 导带底附近状态密度
gc (E)
V
2 2
(2mn* ) 32 3
(E
Ec
)
1 2
对硅、锗等半导体，其中的
•m对d于n称S为i，导导带带底底电有子六状个态对密称度状有态效，质s=量6，。mdn=1.06m0 对于Ge，s=4，mdn =0.56m0
对于能量为E的一个量子态被电子占据的概率为 f(E)为:
f
E
1
1 exp( E
EF
)
k0T
k0 :玻耳兹曼常数，T : 绝对温度
16
在整个能量范围内，状态被占据的数目等于
实际存在的电子总数N。 设与能量Ei相对应的有G(Ei )个量子态，则有
G(Ei ) f (Ei ) N
i
f (E)：电子的费米分布函数，它是描写热平衡状态下，
Z g ( E) dE EC 100( 22 /2mn*L2 )