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5
割平面法
• 基本思想：求原问题对应松弛问题最优解， 如果不是原问题的可行解，则通过引入线 性约束条件（即割平面），使松弛问题的 可行域逐步缩小（即切掉一部分），每次 切割掉的是松弛问题的非整数解的一部分， 但不切掉任何整数解，直到最后使目标函 数达到最优的整数解成为可行域的一个顶 点时，即为原问题的最优解。其本质是利 用线性规划的求解方法逐步缩小可行域， 最后找到整数规划的最优解。
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17
0—1规划的求解
• 列举法 • 隐枚举法
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18
m ax z 3 x1 2 x2 5 x3
(0)
x1 2 x2 x3 2
(1)
x1 x1
4x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
4 x2 x3 6
(4)
x1 , x2 , x3 0 或 1
隐枚举法
,
6) 5
62 z0 5
LP11
x1=2 x2=1 z11=11
x1=11/5 LP x2=6/5
z0=62/5
x1=9/4 LP1 x2=1
z1=12
x1=9/4
LP2
x2=1 z2=12
无可行解 LP12
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14
分枝定界法求解步骤
步骤1：求解原问题的松弛问题（用LP表示），得 最优解，若满足整数约束，则即为最优解，否则 进入下步。
i 1, 2,
m
s.t.
j1
xj 0
j 1, 2, n
x1 , x2 , xn取
整
数
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3
第二节 整数规划的解法
• 割平面法 • 分枝定界法
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4
例3-5
m ax z 1 2 x1 9 x2
4 x1 5 x 2 2 0
2
x
1
x2
8
x 1 , x 2 0
步骤3：求解新线性规划问题，得，若为整数则为原问题的 最优解，否则进入步骤2。
• 按某非整分量构造的约束条件需满足以下两个条件：
• （1）当前最优解不满足该约束，即使得该最优解不会再 出现在松弛问题可行解中；
• （2）所有整数可行解均满足该约束，即新增约束条件后， 仍保留了原松弛问题的所有整数解。
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11
分枝定界法
• 基本思想：求原问题的对应的松弛问题， 其最优解若不是原问题的可行解，则通过 附加线性不等式约束（整型），将松弛问 题分枝变为若干子问题，即对每一个非整 变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型 约束，即得两个子问题，继续求解定界， 重复下去，直到得到最优解为止。
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12
例3-7 用分枝定界法求解：
（5）若是非整数解，，且又是平行各分枝中的最大目标函 数值，则取为新的上界，同时将该枝视为新的LP，回到 步骤2。
步骤5：各分枝均已查清，对应最优目标值的解即是原问题 的最优解。
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16
第三节 0—1规划
• 如果整数规划问题中的所有决策变量仅限 于取0或者1两个值，则称此问题为0—1整 数规划，简称0—1规划，其变量称为0—1 变量。如果整数规划问题中的部分决策变 量为0—1变量，则称为0—1混合整数规划。
第三章 整数规划
➢ 一般整数规划问题 ➢ 整数规划的解法 ➢ 0—1规划 ➢ 指派问题
➢ 物流资源分配问题
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1
知识目标
• 掌握整数规划的基本形式； • 掌握分枝定界法计算过程； • 理解割平面法； • 掌握0—1规划的标准形式； • 了解0—1变量的应用； • 掌握0—1规划的匈牙利解法。
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15
分枝定界法求解步骤
步骤4：解每一分枝，并根据不同情况采取以下步骤：
（1）若无可行解，则将该分枝剪掉，不再考虑。
（2）若是整数解且其最优值，则该分枝的解就是原整数规 划问题的最优解，结束。
（3）若是整数解，但最优值，则取为新的下界，该枝关闭。
（4）若是非整数解且，则该分枝中不包含原问题的最优解， 该枝关闭。
技能目标
• 能够结合实际情况建立整数规划模型，并可利用分枝 定界法求解；
• 能够应用0—1规划建模并求解，安排人员工作。
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2
第一节 一般整数规划问题
• 什么是整数规划问题？ • 整数规划的一般形式：
n
m a x z （ 或 m in z ） = c j x j j 1
n
aij x j (, )bi
步骤2：分枝。任选的一个不为整的分量，设为（其 中为整数部分，为小数部分），据此得两个约束 条件，这样就将LP的可行域分割成两个不相交的 子集。将这两个约束分别加入LP得两个新问题， 即两个分枝LP1和LP2。
步骤3：定界。设LP的最优值为，则它是IP最优值 的上界，任取IP的一个可行解，对应目标值记为， 它是的下界（初次下界可以取“”），即有：
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19
第四节 指派问题
• 指派问题的标准形式
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20
• 价值系数 ciji,j1,2, ,n
• 效率矩阵
• 决策变量
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21
指派问题求解——匈牙利法
k 定理1 设指派问题的效率矩阵为C cij nn ，若将该矩阵的某一行
（或某一列）的各个元素都减去同一常数k （ 可正可负），得到
max z 4 x1 3x2
4 x1 x2 10
s.t
.
2
x1
3x2
8
x1
,
x2
0且 均 为 整 数
x0
(11 , 5
6) 5
z0
62 5
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13
max z 4 x1 2
s.t.
4 2
x1 x1
x2 10 3x2 8
x1
,
x2
0且 均 为 整 数
x0
(11 5
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23x423s1s2
2 3
9
m ax z x2
3x 3 x1
1
2 x2 2 x2
6 0
x1 ,
x2
0且
为
整
数
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其最优解为=（1,1） 最优值为=1
10
割平面法的求解步骤
步骤1：求解原问题的松弛问题，得最优解，若满足整数约 束，则即为最优解，否则进入下一步；
步骤2：分解其中一个非整分量，构造一个新的线性约束条 件，加入原松弛问题中，形成新的线性规划；
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6
例3-6
m ax z x2
3 x1 2 x2 6
3
x
1
2
x2
0
x1 ,
x2
0且
为
整
数
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7
11 3
x2
4x3
4x4
2
x2(01 4)x3(01 4)x411 2
x211214x314x4
14x314x4s1
1 2
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11 24
x3
1 4
x4
0
8
j cj zj