常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解dydyx 2Ce 2， C 为任意常数1.xy 分离变量xdx ， ydxydy x dx ， y Ce1 x22.xydx 1 x 2 dy 0 分离变量1 ， C 任意常数yx 2dy 1 3.xy y ln y 0 分离变量dx ， y Ce xy ln yx4.( xy 22y y)dy 0 分离变量 ydyxdx2)(12) Cx)dx ( xy 21 x2，(1yx15.dy(2 x y 5)2令 u2x y 5 则du2 dy ， du2 dx ， 1 arctan ux C 1 dxdxdx u 2 2 2dy x y dy 1 yy ， dy u xdu，代入得 2x ，令 u 1 u du 1dx6.x ，原方程变为dxdxy1 y x dxdx 1 u 2xx2arctan u uln xC ， uy x回代得通解2arctany xln xyxCdyy y 2y dudx 7.xy y x2y 20 dxxxx1 u 2x1 ，令 u，代入得arctanu ln x C， uy 回代得通解 arctan yln x y Cx xx8.xdyy lny，方程变形为dyyln y，令 u y du dx eCx 1，yxeCx 1，， udx xdx x x x u(ln u 1)x9. dy2xdx2 xdxdx C) Cex22xy 4x ，一阶线性公式法 y e( 4 xe2dx 10.dyy2x 21 ( 2x 2e1dx C) x 3Cxdxdxdx x11.( x 21)y2xy 4x 2，方程变形为 y2xy 4x 21 (43C)2x 2一阶线性公式法 y1 x2 xx 11312.( y 2 6x)dy2y0，方程变形为dx3 x1 y 一阶线性公式法 y 1 y2 Cy 3dxdy y2213. y 3xy xy2，方程变形为 1 dy3x1x 伯努利方程，令 z y 1,dzy 2dy代入方程得y 2 dxydxdxdz 3xz x 一阶线性公式法再将 z 回代得 13 x 2Ce2dxy1314.dy1 y1(1 2x) y 4 ，方程变形为 1 dy1 1 1 (1 2x) 伯努利方程，令 dx 33 y4 dx3 y 33zy 3, dz3y 4dy代入方程得 dzz 2x 1，一阶线性公式法再将z 回代得dx dxdx1 Ce x2x 1y 315.y5y 6 y 0 ，特征方程为 r 2 5r 6 0 ，特征根为 r 12, r 23 ，通解y C 1e 2x C 2e 3x16.16y 24y 9y0，特征方程为 16r224r 9 0 ，特征根为 r 1,23 ，通解43 xy(C 1 C 2 x)e 417.yy0 ，特征方程为 r 2 r 0 ，特征根为 r 1 0, r 2 1 ，通解 y C 1 C 2e x18.y4y5y 0 ，特征方程为 r 2 4r 5 0 ，特征根为 r 1 2 i, r 2 2 i ，通解y e 2 x (C 1 cos x C 2 sin x)19.( x 2 y)dx xdy0 ，全微分方程 x 2 dx ( ydxxdy)0 ，d x 3d( xy) 0 ，通解x 3xy C3320.( x 3 y)dx ( xy)dy 0 ，全 微 分 方程x 3dx ( ydx xdy ) ydy，d x 4d( xy)d y 20 ，通解 x 4xyy 2C424221.( x 2 y 2 )dx (2 xy y)dy 0 全微分方程 x 2dx( y 2 dx 2xydy ) ydy 0，d x3d ( xy 2) dy 20 ，通解x 3xy 2y 2 C3 2 3222.(x cosy cosx) y ysin x sin y 0 ，全微分方程( xcos ydy sin ydx) (cos xdyysin xdx)0， d( x sin y) d( y cosx) 0 ，通解xsin y y cosx C23.(3 x 2 y)dx (2 x 2 y x)dyC ，3x 2 dx 2x 2 ydyydx xdy 0 ，积分因子1x 2 ，方程变为 3dx 2ydyydx xdy 0 ， d3x dy 2dy0 ，通解 3x y 2y Cx 2xx24.xdxydy( x2y 2)dx，积分因子1，方程变为xdx ydydx 0 ，2y 2x 2y 2xd[ 1ln( x2y 2)]dx 0 通解1ln( x 2 y 2 ) x C2225.( x 2 y 2y)dx xdy 0 ， ( x 2 y 2 )dx ydx xdy 0 ，积分因子1，方程变为x 2y 2 dxydxxdy0 ， dxxx Cx 2y 2d arctan0，通解 x arctanyy26. y e3xsin x ，可降阶 y( n)f (x) 型，逐次积分得通解 y1e 3 x sin x C 1x C 2927. y1 y2 ， 可 降 阶 令 p( x)y ， 原 方 程 化 为 p1 p2 可分离变量型，得yp tan( xC 1 ) ，积分得通解 y ln cos(x C 1 ) C 228.yyx ，可降阶 yf (x, y ) 型，令 p(x) y ，原方程化为 ppx ，一阶线性非齐次公式法得 y pC 1e x x 1 ，积分得通解 y C 1e x1 x2 x C 2229. y y 3y ，可降阶 yf ( y, y ) 型，令 p( y) y , y pdp，原方程化为 pdpp 3pdydy即 p[dp(1 p 2)]0 ， p0 是 方 程 的 一 个 解 ， 由dp(1 p 2 ) 0 得dydyarctan p y C 1 即 yp tan( y C 1) ，通解为 y arcsin e x C 2C 1xf (x) e xP m ( x) 型，1是特征方程230.y 2 y y 4xe ，二阶常系数非齐次2 10的重根，对应齐次方程的通解为 Y(C 1C 2 x)e x ，设特解为 y *x 2 (ax b)e x ，代入方程得 (6ax 2b)ex4xe x，得 a2, b 0 ，故原方程的特解为 y *2x 3e x ，原方程通33解为 y (C1C2 x)e x 2x3e x 331.y a y ex ，二阶常系数非齐次 f ( x)e m特征方程ra0 ，特征值为1,2ai2x P(x) 型，22r，对应齐次方程的通解为YC1 cosax C2 sin ax ， 1 不是特征根，设原方程特解为y*Ae x Ae x a2 Ae x e x，得 A12则 y*e x2 ，原方程通解为，代入方程得1a 1 ay C1 cosax C2 sin axe x 1a232.y y x cosx ，对应齐次方程的通解为Y C1 cos x C2 sin x ，设y y x 的一个特解为y1Ax B 代入此方程得A1,B 0 ，故y1x ；设y y cosx 的一个特解为 y2Ex cos x Dx sin x 代入此方程得E0, D1，故y21xsin x ；原方程22通解为Y C cosx C sin x x1xsin x 12233.y 6 y9 y e x cos x ，特征方程r26r90 ，特征值为 r1,23，对应齐次方程的通解为Y C1e3x C2 xe3x，1i 不是特征根，原方程特解设为y*e x (a cos x b sin x)代入方程得a3, b4，则 y*e x (3cos x4sin x)25252525，原方程通解为Y C e3x C xe3x e x (3cosx 4sin x)12252534.已知y1e3 x xe2 x , y2e x xe2x , y3xe2 x是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解y（）答案： y C1e x C2 e3 x xe2 x，y1y3e 3x , y2y3e x是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数 yC 1e x C 2 e 2x xe x 满足的一个微分方程是（）( A) yy 2y 3xe x( B) y y 2 y 3e x(C ) yy 2 y 3xe x( D ) yy 2 y 3e x解析：特征根为 1 1,22，则特征方程为(1)( 2) 0 即22 0 ，故对应齐次方程为 y y 2 y0 ； y *xe x为原方程的一个特解，1,为单根，故原方程右端非齐次项应具有xf ( x) Ce 的形式。

36.微分方程 ( y x 3)dx 2xdy 0yx 16满足5 的特解为 （）yx 1 x 2答案：5 ，提示：一阶线性微分方程满足下列微分方程初始条件的特解37.xdxy dy 0, y x 0 0 ，分离变量y(1 y)dyx(1 x)dx，通解为1 y1 xy 2y 3 x 2x 2Cy xCy 2y 3 x 2 x 2 2 323，由 0得 ，所求特解为 232338.yxy, y2 ，令 uyudu dx1u 2ln x C ，将 u 回代得通解为yxx 1x 则原方程化为x 得 2y 22x 2(ln xC)由yx 12得 C 2 ，所求特解为 y 22x 2 (ln x2)39.y3y2y5, y x 01, y x 02 ，特征方程 r 2 3r 20 特征根为 r 1 1,r 22 ，对应齐次x2 x，y*5方程的通解为YC 1eC 2e2 为非齐次的一个特解，故原方程的通解为x 2x5C 1 C 2 5 17y C 1eC 2e2 ；由初始条件得2C 2 2解得C15,C 22 ，故所求特C 1 2x7 2 x5解为y5e2 e240.y y 4xe x , yx 0 0, y x 01 ，特征方程 r2 1 0 特征根为 r 1 1,r 21 ，对应齐次方程的通 解 为YC 1e xC 2 e x ，1是特征方程的单根，故原方程的特解设为y *xe x( AxB) 代 入 原 方 程 得 e x (4 Ax2 A 2 Bx) 4 xe x比较系数得A1,B 1，从而y *xe x ( x 1) ， 因 此 原 方 程 的 通 解 为y C 1exC 2exxe x( xC 1 C 2 01)，由初始条件得C1C 2 11解得C11,C 21，故所求特解为ye x e x xe x (x 1)。