海床情况进行求解。
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210

当逐渐增大，锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0，
再等于0，直至小于0。当合力小于0时，锚链以海床接触，此时海床提供向上的支持
力，其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理，故锚链接触海床时，
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36/直接代入问题一的模型中，
得出此条件下的吃水深度为0.723，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，
游动区域半径为18.80。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体，锚的质量为600，钢管共4节，每节长度为1，直径为50，
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1，以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2，
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 )，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例，绘制游动区域图：
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型
号和长度，设定重物球重力的范围，对所有吃水深度的可取值进行遍历，判断对应
的钢管倾斜角度、海水深度是否小于临界值，小于则取其作为可行情况，否则重新
设定锚链的型号和长度，继续运算。最终设计出几种可行的系泊系统方案，并对其
为1.120、1.127、1.135、1.142，钢桶倾斜角(度)为1.150，游动区域为半径14.34的旋
转面，24/ 时吃水深度为0.7015/，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次为4.258、4.285、
4.313、4.341，钢桶倾斜角(度)为4.370，游动区域为半径17.46的旋转面。
的内错角，所以相等。
∙ 钢管和钢桶的受力分析
图 3: 受力分析图
其中，2 为第一根钢管对第二根钢管的拉力。
对受力分析图进行进一步地分析，建立如下函数关系式：
⎧
⎨ = ′ = ( )2 ℎ
1
2
⎩
1 = 1
(5)
⎧
⎪
⎨ 2 = + 1 − − 1
立直角坐标系，对传输节点进行先整体后局部的受力分析，得出系泊系统各部分的
递推公式，建立递推-校正的反演模型，得到相关相关方程组。
为求解此方程组，将题目所给的水深18作为约束条件，给吃水深度赋以初始
值，遍历所有可能的吃水深度值，记录对应的水下物体竖直方向的高度总和，取
与18 最接近时所对应的吃水深度为最优解，推导得相应的倾斜角、游动区域等。
2.2 问题二的分析
问题二的第一个子问题要求在问题一的基础上，将风速设定为36/。因此，先
将其直接代入问题一的模型中，求得此条件下的吃水深度、各钢管倾斜角度、锚链
形状等。此时，发现钢桶倾斜角和锚与锚链链接处的切线方向与海床的夹角均不符
合题目要求，即水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被拖行，因此无法求解游动
ℎ
(12)
式中为锚链长度，ℎ 为链环长度，′ 为单节链环的重力。
其中，
= + 4 + +
= + 4 + +
=
(13)
由此，可计算出 和
(3) 游动区域的计算
定义：在海平面上半径为的旋转面。
=
钢桶与水平方向的夹角。
∙ 锚的受力分析
6
图 4: 受力分析图
其中， 为摩擦力， ′ 为锚链对锚水平方向的拉力。
图 5: 受力分析图
其中， 为钢桶和重物球及以上各物体的浮力和，为钢桶和重物球及以上
各物体的重力和， 为锚链对钢桶的拉力，即锚的拉力、锚链的重力和浮力的合
力。
其中，设重力球的质量为 ，密度为 ，重力球的浮力 计算如下：
拖行。随后考虑第二个子问题，对重物球重量进行调整，以钢桶倾斜角最小和吃水
深度最小为目标函数，以水深18、系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为
约束条件，以重物球重量、吃水深度为决策变量，建立多目标优化模型，再将其转
化为单目标优化。之后，通过分层递进法求出达到要求角度的重物球重力临界值，
求得重物球重力最小为2011。最后对可能存在的缺失值通过代入法进行了添补。

⎪
⎩ =
(6)
此外，可得到：
1
1
根据反三角关系，得：
2 = 2
(7)
由此可推导得
+
+1 =

∑︁
− −
=1

∑︁
=1


, = 1, 2, 3, 4
(8)
其中，当=1，2，3时， 为第 + 1根钢管与水平方向的夹角；当=4 时， 为
区域。
之后，对于第二个子问题，考虑调整重物球的重量，以使倾斜角度满足题目要
求。首先分析重物球对各个角度的影响，发现重物球越重角度越小。据此设立重物
球重力范围，在满足系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小于5度的条件
下，将多目标优化模型转化为单目标优化模型。然后遍历所有吃水深度的可取值，
寻找可行的情况，再通过分层递进法求出恰好达到要求角度的重物球重力临界值。
度可达1.5/、风速可达36/。考虑风力、水流力和水深，请设计系泊系统，分析
不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
2
二、问题分析
2.1 问题一的分析
问题一要求计算不同海面风速时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标
的吃水深度和游动区域。要解决此问题，首先对题目中所给出的传输节点示意图建
系统各部分递推关系式和钢桶倾斜角小于5度为约束条件，以重物球重量、吃水深
度和锚链长度为决策变量，以风速36/、海水速度1.5/ 为初始条件，得出不同
锚链类型和长度的最优解。最后，选取4组可行解，并对所得系泊系统进行分析。
最后，对模型作出了客观的评价及推广。
关键词： 反演算法;多目标优化;遍历算法;递推公式;系泊系统。
8
图 6: 游动区域旋转面图
图表分析 由表可见，风速为24/时的吃水深度大于12/时的，且游动区域
半径也较12/时的大，切合人们实际生活经验。
Step2: 异常数据的处理
在上述操作中，发现部分负值，不符合预期情况，如表所示：
表 2: 异常数据表
经分析，认为异常数据为部分锚链接触海床而产生的，因此，下面将锚链接触
5.1.1 问题一模型的建立
(1) 模型的准备
假设吃水深度已知，并令其为ℎ，浮标质量为 ，浮标直径为 ，浮标高度为，
海水密度为。
浮标重力
=
浮标所受浮力
=
(︀ )︀2
ℎ
2
(1)
(2)
结合近海风荷载公式，得到风力
= 0.625 2 = 0.625( − ℎ) 2
1
一、问题的重述
1.1 问题的背景
为满足海上资源开发利用的需要，海上作业平台、浮游码头及海上浮桥的应用
日渐增加，这些海上漂浮结构物的海上定位需要锚泊系统的约束来实现。
锚泊系统在在海洋海岸工程中的形式多样，应用十分广泛。其中，近浅海观测
网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，浮筒式单点系泊系的设
图 1: 传输节点示意图
锚链与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖动。钢
桶竖直时，水声通讯的效果最佳。为了控制钢桶的倾斜角度，链接处可悬挂重物球。
要求通过数学建模来完成以下任务：
(1) 某传输节点选用22.05的II型锚链和1200的重物球，布于深18m、海床平
坦、密度为1.025×103/3 的海域。若海水静止，计算海面风速为12/和24/
=


(9)
=
(10)
式中 取钢的密度，查阅文献的为7.85/3 。
=
⎧
⎪
⎨ − −
= ′
′
′
⎪
⎩ −
=
′
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210

7
(11)

为0。
Step3: 优化绘图
型。 再将未知量吃水深度ℎ设为已知量，以题目所给水深18为约束条件，通过
遍历算法运算出结果。接着对异常数据进行作零处理，分析锚链与海床接触的情
况，推导得出钢管倾角、锚链形状等。最后通过系统是否受力平衡对结果进行检
验。结果显示风速为12/时吃水深度为0.6870，第1-4根钢管的倾斜角(度)依次
对于问题三，考虑到安全因素，将系统设定为处于较极端环境下，即水深、风
速、海水速度分别设为16，36/，1.5/。在风速与水流速度同向的情况下，采
用控制变量法对钢桶倾斜角和锚链末端与锚链接处的切线方向与海床的夹角随风
速、海水深度、海水速度影响的变化规律进行分析。从而可以确定使角度满足题意
的变量临界值。然后，以钢桶倾斜角最小和吃水深度最小为目标函数，以水深16、