数学建模组员: 教改(电)002 李军平崇美玲范敏飞1.材料问题.在某建筑工地施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋由2.9米,2.1米和1.5米三种不同长度的钢筋各一根组成。
目前在市场上采购到得钢筋每根均长7.4米问应购进多少根7.4米的钢筋才能满足工程的需要？(1)钢管下料的合理切割模式用Xi表示按照第i种模式（i=1,2，…,7）切割的原料钢管的根数.目标函数以切割后剩余的总余料最小为目标，则由表可得：:min=0.1X1+0.3X2+0.9X3+1.1X5+0.3X6+0.8X7+1.4X8 (1)以切割原料钢管的根数为目标，则有：:min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8 (2)下面分别在这两种目标下求解。
约束条件为满足客户的需求，按照表应有2X1+X2+X3+X4>=10000 ，(3)2X2+X3+3X5+2X6+X7>=10000 (4)X1+X3+3X4+2X6+3X7+4X8>=10000 (5)1.将（1）（3）(4)(5)构成的整数线性规划模型（加上整数约束），可以得到最优解如下X1=3801,X4=6246,X6=1200(其余变量1.为0)。
即按照模式2切割3801根原料钢管，模式4切割6246根原料钢管，模式切割1200根原料钢管，共11247根，总余料为1500.3m，在余料量最小的目标下最优解将是使用原料尽可能少的切割模式。
2.将（2（3）(4)(5)构成的整数线性规划模型（加上整数约束），可以得到最优解如下X1=2989,X2=3012,X4=1012，X6=1989(其余变量为0)。
即按照模式1切割2989根原料钢管，模式2切割3012根原料钢管，模式4切割1012根原料钢管，模式6切割1989根原料钢管共9002根，总余料为1799.2m，但所用原料的钢管总数减少了2245根，而2245根原料总长度>>1799.2m，所以选择第二种方案。
matlab编程如下：matf=[0.1;0.3;0.9;0.0;1.1;0.3;0.8;1.4];A=[-2 -1 -1 -1 0 0 0 0;0 -2 -1 0 -3 -2 -1 0;-1 0 -1 -3 0 -2 -3 -4];b=[-10000;-10000;-10000];lb=zeros(8,1);[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)Optimization terminated.x =1.0e+003 *0.00003.80090.00006.24580.00001.19910.00000.0000fval =1.5000e+003exitflag =1output =iterations: 8algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0message: 'Optimization terminated.' lambda =ineqlin: [3x1 double]eqlin: [0x1 double]upper: [8x1 double]lower: [8x1 double]f=[1;1;1;1;1;1;1;1];A=[-2 -1 -1 -1 0 0 0 0;0 -2 -1 0 -3 -2 -1 0;-1 0 -1 -3 0 -2 -3 -4]; b=[-10000;-10000;-10000];lb=zeros(8,1);[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb) Optimization terminated.x =1.0e+003 *2.98813.01190.00001.01190.00001.98810.00000.0000fval =9.0000e+003exitflag =1 output = iterations: 6algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0message: 'Optimization terminated.' lambda =ineqlin: [3x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [8x1 double] lower: [8x1 double]3.两个种群都是能独立生存,共处时又能相互提供食物,试建立种群依存模型,讨论平衡点的稳定性并解释稳定的意义.甲.乙两个种群,当他们独自在一个自然环境中生存时,数量的演变均遵寻logistic 规律，计x1(t),x2(t)是两个种群的数量，r1,r2是他们的固有增长率，N1，N2是他们的最大容量。
对于甲种群有 X1=r1*x1*(1-11N x +σ1*x2/N2) （1） 类似的，甲的存在也影响乙的增长，种群乙的方程应该是 X2=r2*x2*(1+σ2*x1/N1-x2/N2) （2） 稳定性的分析首先根据微分方程（1）（2），解代数方程组 f(x1,x2)= r1*x1*(1-x1/N1+σ1*x2/N2)=0g(x1,x2)= r2*x2*(1+σ2*x1/N1-x2/N2)=0 (3)可以得到四个平衡点①当x1=x2=0时得到一个平衡点②当x1=0时可得x2=N2,得到一个平衡点③当x2=0时可得x1=N1,得到一个平衡点④当x1和x2都不等于0的时候，可解的x1=N1*(1+σ1)/1-σ1*σ2,x2=N2*(1+σ2)/1-σ1*σ2所以由上可知4个平衡点为P1(N1,0),P2(0,N2),P3(N1*(1+σ1)/1-σ1*σ2, N2*(1+σ2)/ 1-σ1*σ2),P4(0,0)因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时（x1,x2>=0）才有意义，所以对P3而言要求σ1*σ2<1平衡点稳定性的判断求矩阵A=[fx1 fx2;gx1 gx2]fx1等于X1=r1*x1*(1-x1/N1+σ1*x2/N2)对x1求导得到fx1= r1*(1-2*x1/N1+σ1*x2/N2)fx2等于X1=r1*x1*(1-x1/N1+σ1*x2/N2)对x2求导得到fx2=r1*σ1*x1/N2gx1等于X2=r2*x2*(1+σ2*x1/N1-x2/N2)对于x1求导得到gx1=r2*σ2*x2/N1gx2等于X2=r2*x2*(1+σ2*x1/N1-x2/N2)对于x2求导得到gx2= r2*(1+σ2*x1/N1-2*x2/N2)A=[ fx1 fx2;g(x1) g(x2) ]=[ r1*(1-2*x1/N1+σ1*x2/N2) r1*σ1*x1/N2;r2*σ2*x2/N1 r2*(1+σ2*x1/N1-2*x2/N2)]p=-(fx1+gx2),q=det A把P1(N1,0)带入fx1 fx2 g(x1) g(x2)可得fx1=-r1,fx2=0,gx1= 0，gx2= r2(1+σ2)可知p= r1-r2(1+σ2)，q=-r1r2(1+σ2)把P2(0,N2) 带入fx1 fx2 g(x1) g(x2)可得fx1= r1(1+σ1), fx2=0,gx1= 0，gx2=-r2可知p=-r1(1+σ1)+r2,q=-r1r2(1+σ1)把P3(N1*(1+σ1)/1-σ1*σ2, N2*(1+σ2)/1-σ1*σ2)带入fx1 fx2 g(x1) g(x2)可得fx1=r1*[(-1-σ1)/ 1-σ1*σ2],fx2=[(1+σ1)*r1*N1*σ1]/[(1-σ1*σ2)N2],gx1=[(1+σ2)*r2*N2*σ2]/[(1-σ1*σ2)N1],gx2= r2*[(-1-σ2)/ 1-σ1*σ2]可知p=[r1(1+σ1)+ r2(1+σ2) ]/( 1-σ1*σ2),q=[r1r2(1+σ1) (1+σ2)]/ ( 1+σ1*σ2)把P4(0,0)带入fx1 fx2 g(x1) g(x2)可得fx1=r1,fx2=0,gx1=0.gx2=r2可知p=-(r1+r2),q= r1r2可以得到下表格只有在p,q同时大于0 的时候平衡点才能稳定对P3做相轨线图ψ= [r2*x2*(1+σ2*x1/N1-x2/N2)]=0φ=[1-x1/N1+σ1*x2/N2]=0显然P4(0,0)不可能为平衡点，如果平衡点P1(N1,0)稳定，那么种群乙灭绝没有种群的共存，同理P2(0,N2)也不可能为平衡点，由以上分析可知只有P3为平衡点。
4.国家综合实力分析.从国民收入.军事力量.科技水平.社会稳定和对外贸易等五个方面，运用层次分析法对美.俄.中.英.日进行综合评价当下是2011年，有关国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的数据来自2009年和2010年的相关报告、论文。
根据实际情况，正互反矩阵中元素比较尺度表不太适合这些因素比例的确定，并用层次分析法分析这些数据，检验其合理性。
国民收入占35%、军事力量占25%、科技水平占15%、社会稳定占10%、对外贸易占15%，于是我们通过层次分析法对该比例进行分析：A=[1 1.4 2.33 3.5 2.33;0.714 1 1.66 2.0 1.66;0.429 0.602 1 1.5 1;0.2857 0.5 0.667 1 0.66;0.429 0.6024 1 1.5152 1];>> eig(A)ans =5.0057-0.0030 + 0.1737i-0.0030 - 0.1737i0.00030.0000求正互反阵最大特征根和特征向量A=[1 1.4 2.33 3.5 2.33;0.714 1 1.66 2.0 1.66;0.429 0.602 1 1.5 1;0.2857 0.5 0.667 1 0.66;0.429 0.6024 1 1.5152 1];>> B=A;[m,n]=size(A);for i=1:nB(:,i)=A(:,i)/sum(A(:,i));endfor i=1:mw(i)=sum(B(i,:));endw=w/sum(w)w =0.3518 0.2405 0.1510 0.1053 0.1513A=[1 1.4 2.33 3.5 2.33;0.714 1 1.66 2.0 1.66;0.429 0.602 1 1.5 1;0.2857 0.5 0.667 1 0.66;0.429 0.6024 1 1.5152 1];>> w=[0.3518;0.2405;0.1510;0.1053;0.1513];>> A*wans =1.76141.20410.75600.52660.7576λ=1/5*(1.7614/0.3518+1.2041/0.2405+0.7560/0.1510+0.52661/0.1053+0.7576/ 0.1513)=5.00571/5*(1.7614/0.3518+1.2041/0.2405+0.7560/0.1510+0.52661/0.105 3+0.7576/0.1513)ans =5.0057由以上得λ=5.0057，又n=5,所以CI=（λ-n）/(n-1)=(5.0057-5)/(5-1)=0.001425,RI=1.12.CR=CI/RI=0.001425/1.12 =0.00127<0.1一致通过故A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。