.《全等三角形》压轴题训练(1)1. 如图，在 ABC 中， AD BC,CE AB , 垂足分别为 D, E, AD ,CE 交于点 H , EH 、EB 3,AE 4，则 CH 的长是 ( )A.4B.5C.1D.22. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC, AB 于点 M , N ，再分别以 M , N 为圆心，大于1MN 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 2作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 CD4, AB 25 ，则 ABD 的面积为 ( ) A. 15B. 30C. 45D. 603. 如图，在 Rt ABC 中，C 90 ,AC 12, BC 6 ，一条线段 PQ AB, P, Q 两点分别在线段 AC 和以点 A 为端点且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使 ABC 和 QPA 全等，则 AP 的长为.4. 如图， AD // BC, AB BC, CD ，则 ADE 的面积DE, CD ED, AD 2, BC 3为.5. (1) 观察推理 : 如图①，在 ABC 中， ACB 90 , AC BC , 直线 l 过点 C ，点 A,B 在直线 l 的同侧， BD l , AEl ，垂足分别为 D,E . 求证: AECCDB .(2) 类比探究 : 如图②，在 Rt ABC 中， ACB90 ,AC4 ，将斜边 AB 绕点 A 逆时..针旋转 90°至 AB ，连接 B C ，求AB C 的面积 .(3) 拓展提升 : 如图③，在EBC中， E ECB 60 ,EC BC 3，点 O 在 BC 上，且 OC 2 ，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 OP ，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 120°得到线段 OF . 要使点 F 恰好落在射线EB 上，求点 P 运动的时间 t .6. 【初步探索】(1) 如图①，在四边形 ABCD 中， AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是 BC , CD上的点，且 EF BE FD . 探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法 :延长 FD 到点 G ，使 DG BE . 连接 AG. 先证明ABE ADG ，再证AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是.【灵活运用】(2) 如图②，在四边形ABCD 中， AB AD, B D 180 . E, F 分别是 BC, CD 上的点，且 EF BE FD ，上述结论是否仍然成立?请说明理由 .【延伸拓展】(3) 如图③，在四边形ABCD 中，ABC ADC 180 , AB AD . 若点 E 在CB 的延长线上，点 F 在 CD 的延长线上，仍然满足 EF BE FD ，请写出 EAF 与 DAB 的数量关系，并给出证明过程 ...(2)1. 如图，在ABC 中，AB 12, BC 8, BD 是 AC 边上的中线，则 BD 的取值范围是 ( )A. 2 BD 8B.C. 2 BD 10D.3 BD 104 BD 202. 如图，在锐角三角形ABC 中， AH 是 BC 边上的高，分别以AB, AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和 ACFG ，连接 CE, BG 和 EG, EG 与 HA 的延长线交于点 M ，下列结论 :① BG CE;② BG CE;③AM是AEG 的中线 ; ④EAMABC . 其中正确结论的个数是 ( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 如图， AB // CD ,O 是ACD 和BAC 的平分线的交点，且OE AC ，垂足为 E ,OE =2. 5 cm ，则 AB 与 CD 间的距离为cm.4. 如图，在ABC 中， C 90 , BAC 45 ，点 M 在线段 AB 上， GMB 1 A ，2BG MG ，垂足为 G , MG 与 BC 相交于点 H . 若 MH = 8 cm ，则 BG = cm.5. 如图，在ABC 中 AB AC 10 cm, BC =8 cm, D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 以 a cm/s的速度运动 . 设运动的时间为t s.(1)求 CP 的长 ;( 用含 t 的代数式表示 )(2) 若以 C , P, Q 为顶点的三角形和以B, D , P 为顶点的三角形全等，且 B 和 C 是对应角，求 a 的值 ...6.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法 ( 即“ SAS”“ASA”“ AAS”“ SSS” ) 和直角三角形全等的判定方法 ( 即“ HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 .【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC 和DEF 中， AC DF , BC EF ，B E ，然后对B 进行分类，可以分为“ B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 .【深入探究】第一种情况 :当 B 为直角时，ABC DEF .(1)如图①，在ABC 和DEF 中 AC DF,BC EF , B E 90 ，根据，可以知道 Rt ABC Rt DEF .第二种情况 :当 B 为钝角时，ABC DEF .(2)如图②，在ABC 和DEF 中 AC DF ,BC EF , B E ，且B, E 都是钝角.求证: ABC DEF .第三种情况 :当 B 为锐角时，ABC 和 DEF 不一定全等 .(3)在ABC 和 DEF 中， AC DF ,BC EF ， B E , 且B, E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ，使 DEF 和ABC 不全等 .( 不写作法，保留作图痕迹 )(4)B还要满足什 AC D ,F B C ,E F B ,， E且B, E都是锐角.若，则ABC DEF .参考答案 (1) 1.C 2. B3.6 或 124. 15.(1) Q BD l , AE l .∴BDC AEC 90∴ Rt AEC 中EAC ACE 90∵ACB 90 ， ECD 180∴DCBACE 90∴EACDCB在AEC 和 CDB 中AEC CDBEAC DCBAC CB∴AEC CDB(2) 如图①，作 B ' D AC 于点 D ，则ADB ' BCA 90∵斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转90°至 AB' ，∴ AB' AB，B'AB 90即B'ACBAC 90∵在ACB 中， B CAB 90∴BB'AC在B'AD 和 ABC 中，ADB ' BCAB'AD BAB' BA∴B' ADABC∴B'D AC 4∴S AB'C 1 AC B'D 1 4 4 82 2(3) 如图②根据题意，画出图形.∵BC 3,OC 2∴OBBCOC1∵线段 OP 绕点 O 逆时针旋转120°得到线段 OF .∴FOP 120 ， OP OF∴ 1 260∵在BCE 中， E ECB 60∴OBFPCO 120∴在PCO中， 2 3 60∴ 1 3在BOF 和 CPO 中OBF PCO1 3OF PO∴BOFCPO∴PCOB1.∴EP EC PC 3 1 4∴点 P 运动的时间 t 44(s) 16.(1) BAE FAD EAF(2)成立 .理由：延长FD 倒点 G ，使得 DG BE ，连接 AG ∵ADG ADC 180 ， B ADC 180∴ADG B在ABE 和 ADG 中AB ADB ADGBE DG∴ABE ADG∴BAE DAG ， AE AG∵EF BE FD∴EF DG FD GF 在 AEF和 AGF 中AE AGAF AFEF GF∴AEF AGF∴EAF GAF∵GAF FAD DAG FAD BAE∴BAE FAD EAF(3) EAF180 1DAB . 2证明：在 DC 的延长线上取一点G ，使得 DG BE ，连接 AG ∵ABC ADC180 ，ABC ABE 180∴ADC ABE在ADG 和 ABE 中AD ABADG ABEDG BE∴ADG ABE..∴ AG AE ，DAG BAE∵EF BE FD∴EF DG FD ∵GFDG FD∴EF GF在AEF 和 AGF 中EF GFAE AGAF AF∴AEF AGF∴EAF GAF∵EAF GAF GAE 360∴2 EAF ( GAB BAE ) 360∴ 2 EAF ( GAB DAG ) 360即2EAF DAB 360∴EAF 180 1 DAB2(2) 1.C 2.A3.54. 45.(1)由题意，得 BP 3t cm， BC8cm.∴ CP BC BP (8 3t ) cm.(2) 分两种情况讨论 : ①当 BD CP 时， BDPCPQ ∵AB 10 cm， D 为 AB 的中点∴ BD 1 AB 5 cm.2∴5 8 3t解得 t 1∵BDP CPQ∴BP CQ即3 1 a 1 1. 解得 a 3②当 BP CP 时， BDPCQP∴3t8 3t4 ，解得 t3∵BDP CQP..∴BD CQ4 15即 5 a ，解得。

a3 4综上所述， a 的值为 3 或15 .46. (1)HL.(2) 如图①，过点 C 作 CG AB 的延长线于点G ，过点 F 作 FH DE 的延长线于点H∵CG AG,FH DH∴CGA FHD 90∵CBG 180 ABC ， CBG 180 ABC ， ABCDEF∴CBG FEH∵BC EF∴BCG EFH∴CG FH 又∵AC DFRt ACG Rt DFH∴ A D在ABC 和 DEF 中∵ABC DEF， A D，AC DF∴ABC DEF(3)如图②， DEF 即为所求(4)答案不唯一，如由 (3) 知以点 C 为圆心， AC 的长为半径画弧时，当弧与边 AB 的交点在点 A 、 B 之间时，DEF 和ABC 不全等 ; 当弧与边 AB 交于点 B 或没有交点时，ABC DEF ，故 AC BC ，即当 B A 时， ABC DEF . 因此可以填 B A ..。