二次根式教学目标：1、进一步了解二次根式有意义的条件及其基本性质，熟练化简含二次根式的式子；2、熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。

教学重点、难点：1、二次根式的意义及性质；2、二次根式的混合运算；3、综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子。

一：详细知识要点讲解；【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质：①②③④3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．知识点1.二次根式的定义形如()0a的式子叫二次根式，其中a叫被开放数。

a≥例1 下列各式①21-②()23- ③()39-⨯ ④52-- ⑤22b a + ⑥a -，其中是二次根式的是____________（填序号）例2 若式子31-x 有意义，则x 的取值范围是________.例3 已知y=4322+-+-x x ，则yx =________。

【练 习】1、若式子aba 1+-有意义，则点（a,b ）在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、若2)(11y x x x +=---，则x-y 的值为____________.知识点2.最简二次根式同时满足：①被开方数不含分母；②分母中不含二次根式；③被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

这样的二次根式叫做最简二次根式。

例1 二次根式22240,2,30,12,21y x xx ++中最简二次根式是___________.【练 习】1、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A 、7 B 、3 C 、21 D 、2知识点3.同类二次根式先将几个二次根式化成最简二次根式，如果被开放数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。

例1 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A 、3和8B 、3和31 C 、b a 2和2ab D 、1+a 和1-a【练 习】1、若最简二次根式32-m 与35+m 是同类二次根式，则m=___________。

知识点4.二次根式的性质①=2)(a ________（ ）____(a >0)②2a = a =____(a =0)____(a < 0)例1 若0)4(322=-+-+-c b a ，则a-b+c=___________。

例2 如果()a a 21122-=-，则（ ）A 、21<a B 、21≤a C 、21>a D 、21≥a例3 设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简2a +|a+b|的结果是A 、-2a+bB 、2a+bC 、-bD 、b【练 习】1、当1＜x ＜3时 ，()332--x x 的值为（ ）A 、3B 、-3C 、1D 、-1 2、若代数式()()2242-+-a a 的值为2，则a 的取值范围是（ ）A 、a ≥4B 、a ≤2C 、2≤a ≤4D 、a=2或a=4 3、若0|3|24=-+-y x ，则2xy=______。

知识点5.分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称两个代数式互为 有理化因式 。

例1 观察下列等式：，，，3-43412-323112121=+=+-=+请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算:()22008200720081451341231+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=______.【练 习】化简231+，甲，乙两同学的解法如下：甲：231+=()()23232323-=-+-．乙：231+=()()232323232323-=+-+=+-．对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（ ）A 、甲，乙解法都正确B 、甲正确，乙不正确C 、甲，乙都不正确D 、乙正确，甲不正确知识点6.二次根式的运算（1）因式的外移和内移因式内移时，若m<0，则将负号留在根号外，将根号外的因式平方后移到根号里面．即：=x m______。

因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： y x ( )y x 2= y x=-y x ( )（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

（3）二次根式的乘除法：乘法法则：b a ∙=ab ，成立的条件_____________.除法法则：=ba ______， 成立的条件_____________.例1 已知a > b > 0,a+b=ab 6，则ba b a +-的值为（ ）A 、22 B 、 2 C 、2 D 、21例2 先化简，再求值：)(11b a a b bba ++++ 其中a=215+，b=215-。

二次根式强化训练与复习巩固自测试题一、填空题：1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果x=-4，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．二、选择题：1．下式中不是二次根式的为（ ） A ．； B ．； C ．； D ．2．计算得（ ）A ．； B ． C ． D ．173．若，则化简等于（ ）A ．B ．C ．D ．14．化简的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．9．的值为（）A．B．C．D．10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且三、计算与化简：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）四、求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。

3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是实数，且，求的值．五、解答题：1．解方程：2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．3．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？答案与提示：一、填空题：1．8；2．；3．，b≥0；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．√15／3；8．；9．4；10．x＞6；二、选择题：1．B；2．B；3．C；4．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；三、计算与化简：（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．解：原式．四、求值题：1．由于，所以；2．解：∵，∴∴，∴，∴∴原式．3．提示：由，得：，即：，所以，；再化简，即：．4．提示：由于，而，所以．5．提示：由，可知的取值范围：，则；则．五、解答题：1．原方程可化为：，∴∴2．∵，∴，又∵，∴，∴，∴；∵，，，∴，，，∴，∴△ABC是等边三角形．3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，得：，，，所以．答：加工后的房梁的最大截面积是。