Q ek2 ( yk (a bxk ))2
欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足:
Q 0 a Q 0 b
Q(a, b)
a
m
2
k 1
(a
bxk
yk
)
0
Q(a, b) m
b
2 (a bxk yk )xk 0
k 1
7
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3. 线性最小二乘法
可推导出
m
m
ma b xk yk
k 1
k 1
m
m
m
a xk b xk2 xk yk
k 1
k 1
k 1
上式称为一元线性最小二乘法的法方程
m
yi
a i1 m xi yi i 1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
m
xi
i 1

m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
m
m
m
m
m
( yi xi2 xi xi yi ) (m xi2 ( xi )2 )
若k代表第k次实验的数据，则：
yk* b1 x1k b2 x2k b3 x3k L bn xnk f ( x1k , x2k , x3k ,L , xnk ;b1, b2 , b3 ,L , bn )
10
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4. 多元线性最小二乘法
根据最小二乘原则：
要使 Q ek2 ( yk yk* )2 达到最小
3
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最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同， 可分为半经验建模和经验建模两种。
❖ 半经验建模
❖ 经验建模
如果建模过程中先由一定的理论依 经验建模又分为两种情况：
据写出模型结构，再由实验数据估
一是无任何理论依据，但有经验公
计模型参数，这时建立的模型为半
式可供选择，例如很多物性数据
经验模型。例如，描述反应速率常 数与温度的关系可用阿仑纽斯方程
图形进行比较，选择图形接近的函 数形式作拟合模型。
4
LOGO
2. 最小二乘法算法分类
❖ 不论何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是 如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。
❖ 最小二乘法按计算方法特点又分为线性最小二乘法和非 线性最小二乘法。
5
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3. 线性最小二乘法
线性最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小 二乘法又分为一元和多元等不同情况。 ❖ 一元线性最小二乘法的方法概述
对于一元线性函数： y a bx
测定了m个自变量值： xk (k 1, 2L m)
和m个应变量值： yk (k 1, 2L m) 计算出m个应变量值： yk* (k 1, 2L m)
定义误差：
ek yk yk* yk (a bxk )
6
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3. 线性最小二乘法
由最小二乘法：设
5
4
3
2
1
0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Tg/T
2
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1. 最小二乘法曲线拟合的原理
❖ 通常采用“近似函数在各实验点的计算结果与实验结果 的偏差平方和最小”的原则建立近似函数。
定义: ek yk yk*
若 Q ek2 最小
称此曲线拟合法为最小二乘法曲线拟合。 式中Q称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的 原则容易实现而被广泛采用。
（热容、密度、饱和蒸气压）与温 度的关系常表示为:
，即
k k0 exp(E / RT )
(T ) b0 b1T b2T 2 b3T 3 b4 ln T b5 / T
二是没有任何经验可循的情况，只
这种情况下，工作要点在于如何
能将实验数据画出图形与已知函数
确定函数中的各未知系数 k0 ，E
i1 i1
i1 i1
i 1
i 1
m
m
m
m
m
b (m xi yi xi yi ) (m xi2 ( xi )2 )
i 1
i1 i1
i 1
i 1
8
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4. 多元线性最小二乘法
❖设系统共有n个影响因子，得到m次实验数据。若可用多元线性函 数拟合时，形式如下：
n
y b1 x1 b2 x2 b3 x3 L bn xn bi xi i 1
❖若k代表第k次实验的数据，则相应的预测值表示为：
yk* b1x1k b2 x2k b3x3k L bn xnk f (x1k , x2k , x3k ,L , xnk ;b1, b2, b3,L ,bn )
❖由最小二乘法设：
m
m
Q ek2 ( yk yk *)2
k 1
k 1
❖欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足:
因此，要求： Q 0 bi
Q
bi
2(b1
m k 1
x1k xik
b2
m k 1
x2k xik
L
bn
m k 1
xnk xik
m
k 1
xik
yk )
0
则转化为以 bi 为未知数的方程组：
Sij
化工计算：方程的拟合
❖ 化工实验和工程实践中，可测得许多离散的实验数据和工
业数据，通常需要寻找一条连续光滑曲线 f (x) 来近似反 映已知数据组间存在的某种关系，所得近似函数 f (x) 可
以很好地逼近离散数据（ xi , yi ），这个函数逼近的过程
称为曲线拟合或经验建模。
❖ 常用最小二乘法曲线拟合。
Q
bi
2(b1
m k 1
x1k xik
b2
m k 1
x2k xik
L
bn
m k 1
xnk xik
m
k 1
xik
yk
)
0
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4. 多元线性最小二乘法
设多元线性函数：
n
y b1 x1 b2 x2 b3 x3 L bn xn bi xi i 1
共n个影响因子，有m次实验数据， m n
200
150
100
Y
50
0
1
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
LOGO
X
Log ( cP )
14
13 [C6mim][Tf2N]
181.15 K Log = 13
12
Arrhenius high temperature (fit)
11
Arrhenius high temperature (extension to 400 K) Arrhenius high temperature (extension to 258 K)
10
VFT low temperature (fit)
9
VFT low temperature (extension to 181.15 K)
8
VFT high temperature (fit) VFT high temperature (extension to 400 K)
7
6 logη= -2.137+ 882.43/(T-160.036)