第二节 化二次型为标准形
若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式
,2
222211n n y b y b y b
则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.
由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵
n b b b B 21
则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222
2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.
内容分布图示
★ 二次型的标准性
★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1
★ 例2
★ 例3
★ 例4
★ 用初等变换化二次型为标准形
★ 例5
★ 例6
★ 定理 3 4
★ 用正交变换化二次型为标准形
★ 例7
★ 例8
★ 二次型与对称矩阵的规范形
★ 例9
★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2
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内容要点：
一、用配方法化二次型为标准形.
定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:
(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量
进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;
(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换
),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k
k j i j j i i
且
化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.
注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:
定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
二、用初等变换化二次为标准型
设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是
s P P EP C 21
s T
T T s T P P AP P P P AC C 2112.
由此可见, 对n n 2矩阵
E A 施以相应于右乘s P P P
21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T
s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可
逆矩阵C .
三、用正交变换化二次型为标准形
定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r
注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即
.),,,(2
222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y
定理3 任给二次型),(1
,ij ji n
j i j i ij a a x x a f 总有正交变换,PY X 使f 化为标准形
,2
222211n n y y y f
其中n ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T 求出A ; (2) 求出A 的所有特征值 n ,,,21 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 n ,,,21 ;
(4) 将特征向量n ,,,21 正交化, 单位化, 得n ,,,21 , 记);,,,(21n C (5) 作正交变换CY X ,则得f 的标准形
.2
222211n n y y y f
四、二次型与对称矩阵的规范型
将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为
)1(2
2112211r r p p p p x d x d x d x d
其中).,,2,1(0r i d i
定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.
注: 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数,负项个数p r 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.
注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形
00
000
00p
r p
E E 定理5 设A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵Q C ,，且,Q C 使得
00
000
00p
r p
T E E AC C ，
00
000
00
q
r p T E E AQ Q 则 .q p
注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。

例题选讲:
例1(讲义例1) 将2332223121214222x x x x x x x x x 化为标准形.
用配方法化二次型为标准形.
例2 化二次型3231212
322
2162252x x x x x x x x x f 为标准形, 并求所用的变换矩阵. 例3 (讲义例2) 化二次型323121622x x x x x x f 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 例4 用配方法将以下二次型化为标准型.
.22),,,(4342324131214321x x x x x x x x x x x x x x x x f
用初等变换化二次为标准型
例5(讲义例3) 设,121221111
A 求非奇异矩阵C , 使AC C T 为对角矩阵.
例6 求一可逆线性变换将323121422x x x x x x 化为标准形. 用正交变换化二次型为标准形
例7 (讲义例4) 将二次型3231212
322
21844141417x x x x x x x x x f 通过正交变换,Py x 化成标准形.
例8 设434232413121222222x x x x x x x x x x x x f , 求一个正交变换,Py x 把该二次型化为标准形.
二次型与对称矩阵的规范型
例9 将标准型23
2
2212
122y y y 规范化. 例10 (讲义例5) 化二次型323121622x x x x x x f 为规范形, 并求其正惯性指数.
课堂练习
1. 求一正交变换,将二次型
3231212
32221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f 化为标准形, 并指出1),,(321 x x x f 表示何种二次曲面.。