上式表明：孔径平面上透射光场和观察平面上光场之间 存在一个卷积关系。
衍射屏的新定义
在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种各样的孔。 如今，我们将“能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。
例如： 障碍物的振幅以一定的分布衰减；（以一定的形式限定波面的变化） 障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化） 或两者兼而有之。 表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅透过率，有些场合 里 tP t x, y, z 又称为孔函数或瞳函数，一般用 或 表示。 前 后
常用衍射屏的透过率函数表示：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
r d /2 r d /2
x2 y2 r 1 circ t x , y circ d d 0
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于相位变化型的衍射屏， 最典型的是透镜 。
通常的光学仪器都满足上述条件！
基尔霍夫衍射理论
惠更斯—菲涅耳原理
e jkr U Q C U 0 P K dS r
（1）
惠更斯—菲涅耳原理建立在“子波 源”的假说上。假定子波源振动相位比 实际光波在该点的振动超前 。 2
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
（1）孔径平面上的光波分布是P0点发 射的单色球面波产生的； 因此有
U 0 P a0 jkr0 e r0
点光源P0照明平面屏幕
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e dS 2 r
e jkr U Q c U 0 P F 0 , dS r
惠更斯—菲涅耳衍射积分公式
可以看出： 倾斜因子
常数 c
1 j
cosn, r cosn, r0 F 0 , 2
基尔霍夫假设：
（1）在上， U 0 P 与无屏时一样； （2） 外， U 0 P 0
满足以上条件，则有
2
1 e jkr hP , Q j r
2
r z 2 x x 0 y y0
对r进行二项式展开并化简，有 脉冲响应：
h x , x0 ; y, y0
2 2 2 e xp jk x x y y z 0 0 jz h x x0 , y y0
x y x t x , y rect , rect 1 a a
（3）双缝光栅，如图

a
d 2
a
0
d 2
x d /2 x d / 2 t x, y rect rect 1 a a
比如：通过孔径平面的场分布计 算孔径后面任意一点的复振幅。
解决的方法：利用格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动 方程，得到基尔霍夫衍射公式。
基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e dS 2 r
光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
令
1 U Q j
e jkr U 0 P F 0 , dS r
（ 1）
1 e jkr F 0 , hP , Q j r
则（1）式化简为 U Q
U P hP , Q dS
0
（ 2）
说明：（2）式是叠加积分，它的物理意义是
P点有一个单位脉冲，它在观察点Q造成的光波 分布是 hP , Q ，它被称为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 上所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
Hale Waihona Puke 条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的 入射角都不大。 （2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在 观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
标量衍射理论
信息光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍 射理论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
e jkr U Q U 0 P F 0 , dS r
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。 因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组合。 U可以理解为在任意单色光照明下对 因此，上式中的 0 P 孔径平面产生的光场分布。



定义：
U t P t P U i P
U i P

衍射屏
U t P
常用衍射屏的透过率函数表示：
（1）一个矩形孔
0.2 2mm2
的衍射物 x
x y t x , y rect , 0.2 2
（2）平行y轴的单狭缝，x轴上宽度为a。
2
k 2 U Q 0

--------亥姆霍兹方程
k 2


2 c
说明: 1. 亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的空间分布。 2. 我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布必须满足亥姆 霍兹方程。
基尔霍夫衍射理论所要解决的问题 光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点 的复振幅表示出来？
1
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所产生的 球面子波的形式是一样的。
h x x0 , y y0 e xp jk jz 1
x x0 2 y y0 2 z 2

U x , y U 0 x0 , y0 h x x0 , y y0 dx0 y0 U 0 x0 , y0 h x , y

上
（二）亥姆霍兹方程
1. 波动方程(标量)
单色光场中任意一点Q的光振动u满足
2 2 2 2 2 2 2 x y z
1 u u 2 2 0 c t
2 2
其中
--------拉普拉斯算符
代入波动方程,得到
将单色光波分布

uQ, t U Qe j 2t