2018高考全国卷高三数学模拟试题十一（附答案）第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数311i iz +-=（i 为虚数单位）对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知非空集合,A B ，全集B A U =，集合B A M =， 集合(=NB ） （ A ），则（ ）A ．M N M =B ．∅=N MC ．M N =D ．M N ⊆ 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（ ） A ．4 B ．41C ．－4D ．－144．执行如图所示的程序框图，若输入2a =，则输出的结果为( ) A ．3 B ． 4 C ．5 D ．65．椭圆C :2214x y +=与动直线l ：()22210mx y m m --+=∈R ，则直线l 与椭圆C 交点的个数为（ ）A ．0B ． 1C ．2D ．不确定 6．“1a =”是“6(1)ax +的展开式的各项系数之和为64”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）8．在等比数列{}n a 中，对于n ∀∈*N 都有n n n a a 321=⋅+，则=⋅⋅621a a a （ ）． A ．113)3(± B ．133)3( C ．53± D ．639．已知关于x 的方程11lg =21lg xaa +⎛⎫ ⎪-⎝⎭有正根,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．11010（，）C ．1(,1)10 D ．10+∞（，）10．已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=,则ABC ∆的内角A 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 11．函数()sin()f x A x ωωπ=+（0A >,0>ω）的图像在]43,23[ππ--上单调递增，则ω的最大值是（ ）．A ．21B ． 43C ． 1D ．212．定义在)2,0(π上的函数)(x f ，()'f x 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()(⋅'<成立，则（ ）．A()()43ππ> B ．(1)2()sin16f f π<C()()64f ππ> D()()63f ππ< 第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13．20cos 2cos sin xdx x x π=+⎰.14．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有 种放法．(用数字作答)15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,FF ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ．16．三棱锥BCD A -的外接球为球O ，ABC ∆与ACD ∆都是以AC 为斜边的直角三角形，BCD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形,且BD =与的夹角为32π，则球O 的表面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17. (本小题满分12分)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且1cos cos a A b C +=. （1）求角A ；（2）若1=a ，求ABC ∆的面积S 的最大值．18. (本小题满分12分)如图甲，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿其对称轴1OO 折成直二面角，如图乙.（1）证明：AC ⊥1BO（2）求二面角O －AC －1O 的大小.19. (本小题满分12分)在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表:（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表:据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握?（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈. 已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中.①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； ②记抽取到数学科代表的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X . 下面临界值表仅供参考：（参考公式：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=）20. (本小题满分12分)已知抛物线2:,C y x =过点()001,08A x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭作直线l 交抛物线于点Q P ,（点P 在第一象限）.（1）当点是抛物线的焦点，且弦长2PQ =时，求直线l 的方程；（2）设点关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点，且.BP BQ ⊥求证：点的坐标是()0,0,x -并求点到直线l 的距离d 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数232()ln()2x f x a x a a =+--，a ∈R 且0a ≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，若2212a a x x a a +<<<-，证明:22121()()2f x f x a a x x -<--.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图, ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠. (1)求证: PA 是⊙O 的切线;(2)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC , 5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求直径AB 的长.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C 的方程是0422=-+x y x ，圆心为C ．在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点． （1）求直线AB 的极坐标方程；（2）若过点C (2,0)的曲线C2:212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)交直线AB 于点D ,交y 轴于点E ，求|CD |:|CE |的值.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-．（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．5．C 动直线l 即为：()112y m x -=-，动直线过定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，该点在椭圆内部，所以总有两个交点，选C.8．提示：由题知，123456a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=3334a a ⋅236(3)3==，选Ｄ.9．提示：由题只须1lg (0,1)1lg a a +∈-，解得lg (1,0)a ∈-，从而 实数a ∈1(,1)10，故选C.11．提示：（方法一）令x t π+=，原题等价于函数sin y t ω=的图像在[,]24ππ-上单调递增．如图：只须22ππω-≤-，从而1ω≤．选Ｃ. （方法二）因为0＞A ,0＞ω, 所以函数()sin()f x A x ωωπ=+的增区间满足：ππωπωππk x k 2222+≤+≤+-，化简得πωπππωππ-+≤≤-+-k x k 2222∈k Z.又因为函数()sin()f x A x ωωπ=+在]43,23[ππ--上单调递增，所以]43,23[ππ--⊆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-πωπππωππk k 22,22，解得⎩⎨⎧+≤+≤k k 4182ωω，所以1≤ω，即ω的最大值为1. 12．提示： 由x x f x f tan )()(⋅'<得cos ()sin ()0x f x x f x '⋅-⋅<可见2cos ()sin ()0sin x f x x f x x '⋅-⋅<，即函数()sin f x x 在)2,0(π上单调递增,所以选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．0 14．112 15．12e 35<<16．3π 13．提示：因cos 2cos sin cos sin x x x x x =-+，所以20cos 2cos sin x dx x x π=+⎰2(cos sin )x x dxπ-⎰20(sin cos )|110x x π=+=-=.提示：（方法一）令甲、乙两个笔筒，放入甲筒里的情况共有四种，每种情况里的方法数分别为27C ，37C ，47C ，57C ，从而共有23457777C C C C +++3538882112C C C =+==． （方法二）将7支不同的笔放入两个不同的笔筒中，先将7支不同的笔分成两份，有两种情况，一是一份5支，另一份2支，有5272C C 方法，二是一份4支，另一份3支，有4373C C 方法，共有5243727356C C C C +=种方法，接着将两份笔分别放入两个不同的笔筒中有222A =种方法，由分步计数原理得562112⨯=种方法.三、解答题：本大题共70分.17．解：（1）解法①:由正弦定理可知sin sin a A b B = , 所以sin 1cos sin cos A ABC +=， ……………………………………………………………2分 即sin cos sin sin cos A C B B A =+，又因为在ABC ∆中，sin sin(())sin()B A C A C π=-+=+， ……………………4分 又sin()sin cos cos sin A C A C A C +=+，所以sin cos sin cos cos sin sin cos A C A C A C B A =++，即cos (sin sin )0A C B +=， …………………………………………………………6分 又因为在ABC ∆中,sin 0,sin 0C B >>，所以cos 0A =，即2A π=. ………………………………………………………8分（方法二）:由余弦定理可知222cos 2b c a A bc +-=,222cos 2b a c C ab +-=，代入原式中，得22222222b a c b c a b b c +-+-=+， ………………………………2分即2222222()2()c b a c b c b c a b +-=++-，即222222()()c a c b b b c a --=+-， 于是222()()0b c a b c +-+=， 因为0b c +≠，所以2220b c a +-=， ……………………………………………6分所以2A π=. …………………………………………………………………………8分由（1）知221b c +=，又因为222b c bc +≥，所以12bc ≤（当c b =时取“=”），……………………………………………………………………………… 10分又因为ABC ∆的面积2bc S =14≤，从而ABC ∆的面积S 的最大值为14. ………12分18．解: （1）证明：（方法一）由题设知OA ⊥OO1，OB ⊥OO1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即OA ⊥OB. 所以有AO ⊥平面OO1B ，所以B O1⊥AO. 如右图在直角梯形OO1CB 中，连BO1交OC 于E ，由已知， O1C=1，OB=3，………………………………………………4分所以在Rt △OO1C中，1tan 3O OC ∠=，所以∠O1OC=30o.在Rt △O1OB中，1tan OO B ∠=，所以∠OO1B=60o.所以∠O1EO=90o ，于是BO1⊥OC.（或由三角形相似及相似比得22211O E OE OO += 得BO1⊥OC 可参照给分）又OC AO=O ，所以BO1⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BO1. ………………………………………………………………………6分 （2）（方法一）解:连OD 交AO1于E ，由(1)可知OE ⊥AO1又CO1⊥平面AOO1D ， 而OE 在平面AOO1D 内，所以CO1⊥OE ， 从而OE ⊥平面AO1C.过E 作EF ⊥AC 于F ，连OF.即在Rt △OEF 中， ∠OEF=90o ，∠EFO 即是二面角O —AC —O1的平面角. ………8分由(1)可知OE=32，AE=，而△AEF ∽△A O1C ，则1EF AECO AC =，而所以EF=26， ……10分从而tan ∠EFO=OE EF=32=， …………………………………11分 即二面角O —AC —O1的大小是. …………………………………12分（1）（方法二）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立（如图）空间直角坐标系，…………………2分则A（3，0，0）B（0，3，0），C（0，1，3），O1（0，0，3）.从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BOACBOAC所以AC⊥BO1. ………………………………………………………………6分19．解：（1）由题=2χ22201824)681216(422⨯⨯⨯⨯-⨯⨯2524.582 3.84155=≈>.所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. ……4 分（2）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学. ………………6分①令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则33318()C P A B C ⋂=,217318()C P A C =. 所以()(|)()P A B P B A P A ⋂=21733C C =211716136==⨯. ……………………………8分 (另解: 令事件A 为“在这名学委被抽取到的条件下，两名数学科代表也被抽到”； 则21722)(C C A P =211716136==⨯. ………………………………………………8分 ② 由题X 的可能值有0,1,2.依题31631835(0)51C P X C ===；211623185(1)17C C P X C ===； 121623181(2)51C C P X C ⋅===. …………………………………………………10分从而X 的分布列为:…………………………11分于是()E X 3551012511751=⨯+⨯+⨯171513==. …………………………………12分(另解：因为X 服从超几何分布，所以()E X 213183=⨯=. …………………12分）由题意知，BM //,BP211122B B x y y x x y x y ∴-=-+,即()121221B y y x x y x y +=+()2212211212.y y y y y y y y =+=+显然,021≠=+m y y ,021x y y x B -==∴()0,0.B x ∴-………..9分 由题意知，MBQ ∆为等腰直角三角形，1,PB k ∴=即12121,y y x x +=-也即1222121,y y y y +=-,121=-∴y y ,14)(21221=-+∴y y y y因为0<a ，所以232a a x a a a x y --+--=在22,a a a a ⎡⎤+-⎣⎦上为增函数， 所以()()3222222202a a g x g a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫''≤-=---+++--= ⎪---⎝⎭. 从而知()0<'x g 在22(,)x a a a a ∈+-上恒成立，所以函数()()xaaxfxg⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22在22(,)x a a a a∈+-内单调递减.从而原命题成立. …………………………………12分。