在D 的边界点 P0 连续
• P0
0, 0, 使得当 PU P0 I D
时, 有 f P f P0 .
D
定理４（有界性定理）
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P有 界．D
即存在常数 M 0 使
f P M P D.
都存在 >0, 使得 f U P0 U P0 .
如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 f 在Ｄ
中连续．
４．有界闭区域上连续函数的性质
在一维空间中, 闭区间一定是有界的. 在空间 Rn (n 2) 中, 闭区域不一定有界.
一元连续函数在闭区间上的性质, 推 广到多元函数中应是连续函数在有界闭区 域上的性质.
(x, y)(0, 0) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
xy11 lim ( xy11)( xy11)
) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
lim
1 1
(x,y)(0, 0) xy11 2
例
求函数 z xy 的间断点. x y
r 0
x0 y0
x2 y2
故函数在点(0, 0)处连续.
例 讨论函数
f
(
x,
y)


x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0

lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx

1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
根据连续性求极限
如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则
lim f (P) f (P0)
PP0
例例7 求 lim x y (x, y)(1,2) xy
解 函数 f (x, y) x y 是初等函数 它的定义域为 xy
设函数 f P在 闭区域 上D连续，并假定Ｍ 与m分别是 f 在P 上D的最大值和最小值，
则对于任意的 : m M ,
一定有一点 P0 D 使得 f P0 .
例
讨论函数
f
( x,
y)

x3

x
2

y3 y2
,
( x, y) (0,0)
Hale Waihona Puke ,( x, y) (0,0)
４．有界闭区域上连续函数的性质 定理５ 最大(小)值定理
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P达 到最D大值和最小值．
即存在点 P1, P2 D , 使
f P f P1, f P2 f P. P D.
４．有界闭区域上连续函数的性质 定理６（介值定理）
D{(x y)|x0 y0}
因为P0(1 2)为D的内点 所以
lim f (x, y) f (1, 2) 3
(x, y)(1,2)
2
例例 8 求 lim xy11 (x, y)(0, 0) xy
解 lim xy11 lim ( xy11)( xy11)
例
求函数 z tan(x2 y2 ) 的间断点.
解 由三角函数知识可知,
所求间断点为
x2 y2 k
2 ( k 0,1, 2, )
y
O
x
同心圆
解 由分母不能为零,
直线 x y 0 上 的一切点均为函 数的间断点.
y
O
D( f )
x
x y 0
多元函数间断点 情形比较复杂
多元函数的间断点可以构成一些 直线、曲线、曲面等, 也可以是 某些点的集合.
例
求函数 z 1 的间断点 .
x2 y2
解 由分母不能为零,
当x2 y2 0时, 函数无定义. 故点 (0, 0) 为函数的间断点.
6-3 多元函数的连续性 1. 多元函数的连续性
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似, 与函数的极限密切相关.
定义 设 u f x, y在点 x0, y0 的一个邻域内
有定义,若
lim f
x, yx0 , y0
x, y
f
x0, y0 ,
则称 f x, y 在 x0, y0 点连续.
故函数在(0,0)处连续.
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
例 讨论函数在点(0, 0) 处的连续性:
f (x, y)
| (y x) x |, x2 y2 0,
x2 y2 0 x2 y2 0,
解 根据函数连续的定义,只需证明
lim f (x, y) 0 .
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos , y sin
f ( x, y) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2 0, ,
2
当 0 x2 y2 时 f ( x, y) f (0,0) 2
若 g x0, y0 0,则 w f x, y / g x, y
在 x0 , y0 点连续．
定理２ (复合函数的连续性)
设z f x, y 在点 x0 ,y0 附近内有定义, 且在 x0 ,y0 连续，
又设 且在
u
z0
g
z 在点 z0 f x0, y0 的附近有定义,
若 u f x, y 在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一 点都连续，则称 u f x, y 在区域Ｄ内连续
2. 关于二元函数连续性的几个定理
定理1 设 f x, y与 g x, y 在点x0, y0 处连续，
u f x, y g x, y 及 v f x, y g x, y 在点 x0, y0 处也连续．
x0 y0
运用极坐标 x r cos , y r sin ,
x2 y2 r 2 , (x , y) (0, 0) r 0
运用夹逼定理:
0 | ( y x)x | r2 | (sin cos ) cos | 2r
x2 y2
r
lim 2r 0 lim | ( y x) x | 0
点连续，则复合函数
u g f x, y 在 x0,y0 点连续．
定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的.
３．映射的连续性
定义
设f : D Rm是Rn中的区域D到Rm的一个映射, 又设P0 D是区域D中的一点, 称f : D Rm在
P0点是连续的, 如果对于任意给定的 0,