高中数学《直线与方程》同步练习（含答案）1. 经过点P(−1, 2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A.0条B.1条C.2条D.3条2. 已知直线l:y=3x−2的纵截距是（）A.−3B.−2C.3D.23. 动点P(cosθ, sinθ)(θ∈R)关于直线y=x−2的对称点是P′，则|PP′|的最大值（）A.2√2−2B.√2+1C.2√2D.2√2+24. 若直线y=0的倾斜角为α，则α的值是（）A.0B.π4C.π2D.不存在5. 下列命题中真命题为（）A.过点P(x0, y0)的直线都可表示为y−y0=k(x−x0)B.过两点(x1, y1)，(x2, y2)的直线都可表示为(x−x1)(y2−y1)=(y−y1)(x2−x1)C.过点(0, b)的所有直线都可表示为y=kx+bD.不过原点的所有直线都可表示为xa +yb=16. 过点(2, 4)可作在x轴，y轴上的截距相等的直线共（）A.1条B.2条C.3条D.4条7. 直线3x−√3y+1=0的倾斜角是( )A.30∘B.60∘C.45∘D.150∘8. 经过两点M(6, 8)，N(9, 4)的直线的斜率为（）A.4 3B.−43C.34D.−349. 过两直线l1:2x−y+1=0，l2:x+3y−2=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为（）A.7x+7y+4=0B.7x+7y−4=0C.7x−7y+6=0D.7x−7y−6=010. 若不论m取何实数，直线l:mx+y−1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为（）A.(−2, 1)B.(2, −1)C.(−2, −1)D.(2, 1)11. 设直线y=2x−1交曲线C于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，（1）若|x1−x2|=√2，则|AB|=________；（2）|y1−y2|=√2，则|AB|=________．12. 已知点M(1, 1)平分线段AB，且A(x, 3)，B(3, y)，则x=________，y=________．13. 设复数z=x+yi(x, y∈R)且|z+i|+|z−i|=4，则点(x, y)的轨迹方程是________．14. 直线2x−3y−12=0与坐标轴围成的三角形的面积为________．15. 已知ab<0，bc<0，则直线ax+by=c的图象一定不过第________象限．16. 直线y=−x+b与5x+3y−31=0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．17. 若三点A(−2, 3)，B(3, −2)，C(12, a)共线，则a的值为________．18. 过点A(2, −1)和B(4, 5)的直线方程是________．19. 已知直线l1:ax+2y+6=0，直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0．当a________时，l1与l2相交；当a________时，l1⊥l2；当a________时，l1与l2重合；当a________时，l1 // l2．20. 已知θ∈R，则直线x|sinθ|−√3y+1=0的倾斜角的取值范围是________．21. 求m为何值时，这三条直线l1:4x+y=4，l2:mx+y=0，l3:2x−3my=4，不能构成三角形．22. 已知直线l经过两条直线l1:3x+y−5=0和l2:x+y−3=0的交点M.(1)若直线l与直线2x+y+2=0垂直，求直线l的方程；(2)求经过点M并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.23. 已知点A(−1, 2)，B(2, 1)在y轴上，求点Q，使|QA|=|QB|，并且求|QA|值．24. 已知：A(2, 5)，B(6, −1)，C(9, 1)，求证：AB⊥BC．25. 直线l经过两直线2x−y+4=0与x−y+5=0的交点，且与直线l1:x+y−6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P(a, 1)到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．26. 求经过点(5, 10)且与原点的距离为5的直线方程．27. 根据条件写出直线的方程（1）经过点A(8, −2)，斜率是−12．（2）经过点P1(3, −2)，P2(5, −4)．28. 求过点P(0, 1)的直线l，使它包含在两已知直线l1:2x+y−8=0和l2:x−3y+10=0间的线段被点P平分．29. 已知直线l1:ax+3y+1=0，l2:x+(a−2)y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1 // l2时，求直线l1与l2之间的距离．30. 已知直线l1:x+my+1=0和l2：(m−3)x−2y+(13−7m)=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1 // l2，求l1与l2之间的距离d．参考答案一、 选择题1.D2.B3.D4.A5.B6.B7.B8.B9.B 10.A 二、 填空题11.解：（1）K AB =y 1−y2x 1−x 2=2，即(y 1−y 2)=2(x 1−x 2)，|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√5|x 1−x 2|=√5×√2=√10， （2）由（1）可得，(y 1−y 2)=2(x 1−x 2)， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√55|x 1−x 2|=√2×√55=√105． 12. 1,1 13.y 24+x 23=114. 12 15. 二 16. 315<b <31317. 1218. 3x −y −7=019. a ≠−1且a ≠2,=23,a =2,a =−1 20. [0∘, 30∘] 三、 解答题21.解：①当直线l 1:4x +y −4=0平行于l 2:mx +y =0时，m =4． ②当直线l 1:4x +y −4=0平行于l 3:2x −3my −4=0时，m =−16， ③当l 2:mx +y =0平行于l 3:2x −3my −4=0时，−m =23m ，m 无解．④当三条直线经过同一个点时，把直线l 1与l 2的交点(44−m , −4m4−m )代入l 3:2x −3my −4=0得 84−m −3m ×−4m4−m −4=0，解得m =−1或23， 综上，满足条件的m 为4、或−16、或−1、或23． 22.解：(1)解方程组{3x +y −5=0,x +y −3=0,得x =1,y =2,M(1,2).与2x +y +2=0垂直的直线为x −2y +c =0, M(1,2)点代入得c =3.直线l 的方程为x −2y +3=0. (2)当截距为0时，设y =kx ，过点M(1,2), 则得k =2，即y =2x ；当截距不为0时，设x a +y a =1，或x a +y−a =1，过点M(1,2)，则得a =3或a =−1，即x +y −3=0，或x −y +1=0，这样的直线有3条：y =2x, x +y −3=0，或x −y +1=0. 23.解：设Q(0, y)，∵ |QA|=|QB|， ∴ √1+(y −2)2=√22+(y −1)2， 化为y =0． ∴ Q(0, 0)， |QA|=√5．24.证明：∵ A(2, 5)，B(6, −1)，C(9, 1)， ∴ AB →=(4, −6)，BC →=(3, 2)， ∴ AB →⋅BC →=4×3+(−6)×2=0，∴ AB →⊥BC →， ∴ AB ⊥BC ．25.解：（1）由{2x −y +4=0x −y +5=0，解得{x =1y =6．即两直线的交点为(1, 6)，∵ 直线l 1:x +y −6=0的斜率为−1， ∴ 直线l 的斜率为−1，∴ 直线l 的方程为y −6=−(x −1)，即x +y −7=0； （2）由题意知，√2=√2整理得：|a −6|=1．解得：a =7或a =5．26.解：当直线无斜率时，方程为x −5=0，满足到原点的距离为5；当直线有斜率时，设方程为y −10=k(x −5)，即kx −y +10−5k =0， 由点到直线的距离公式可得√k 2+(−1)2=5，解得k =34， ∴ 直线的方程为：3x −4y +25=0综合可得所求直线的方程为：x −5=0或3x −4y +25=0 27.解：（1）由题意得：直线方程为y +2=−12(x −8)， 整理得：x +2y −4=0；（2）由题意得：直线方程为y +2=−2−(−4)3−5(x −3)，整理得：x +y −1=0．28.解：根据题意，直线l 1:2x +y −8=0可化为 y =−2x +8；设直线l 1上的一点P 1(x 1, −2x 1+8)，则P 1关于点P 的对称点是P 2（−x 1, 2−(−2x 1+8)）； P 2在直线l 2:x −3y +10=0上，即−x 1−3(2x 1−6)+10=0， 解得x 1=4， ∴ y 1=0；∴ 所求的直线方程是x4+y =1，即x +4y −4=0． 29. 解：（1）由l 1⊥l 2可得：a +3(a −2)=0，…4分 解得a =32；…6分（2）当l 1 // l 2时，有{a(a −2)−3=03a −(a −2)≠0，…8分解得a =3，…9分此时，l 1，l 2的方程分别为：3x +3y +1=0，x +y +3=0即3x +3y +9=0， 故它们之间的距离为d =√32+32=4√23．…12分．30.解：（1）∵ 直线l 1:x +my +1=0和l 2：(m −3)x −2y +(13−7m)=0， ∴ 当l 1⊥l 2时，1⋅(m −3)−2m =0，解得m =−3；（2）由l 1 // l 2可得m(m −3)+2=0，解得m =1或m =−2， 当m =2时，l 1与l 2重合，应舍去，当m =1时，可得l 1:x +y +1=0，l 2:−2x −2y +6=0，即x +y −3=0， 由平行线间的距离公式可得d =√12+12=2√2。