高等数学下册公式总结1、N 维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n ,,,n p(x x ...x ),Q(y y ...y )的距离PQ =2、多元函数z f(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。

比如，zx∂∂表示对x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导 就可以了。

3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂。

4、多元函数z f(x,y)=的全微分公式： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂。

5、复合函数z f(u,v),u (t),v (t)φϕ===，其导数公式：dz z du z dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂。

6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： X yF dydX F '=-'，其中x y F ,F ''分别表示对x,y求偏导数。

方程组的情形：0F(x,y,u,v){G(x,y,u,v)==的各个偏导数是：F F v xG Gu x v x F Fu v G G u v∂=-∂，F F u x G G v u xx F Fu v G G u v∂=-∂，F F y v G G y v u y F F u v G G u v∂=-∂，F F y uG G u yvy F Fu v G G u v∂=-∂。

7、曲线Γ的参数方程是：x (t),y (t),z (t)ϕφω===，则该曲线过点000M(x ,y ,z )的法平面方程是：0000000(t )(x x )(t )(y y )(t )(z z )ϕφω'''-+-+-=切线方程是：000000(x x )(y y )(z z )(t )(t )(t )ϕφω---=='''。

8、曲面方程(,,)F x y z ＝0在点000M(x ,y ,z )处的 法线方程是：000x y z (x x )(y y )(z z )F F F ---=='''， 切平面方程是：0000xy z F (x x )F (y y )F (z z )'''-+-+-=。

9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值 第二步：求出000000xx xy yy f (x ,y )A,f (x ,y )B,f (x ,y )C ===第三步：判断AC-B 2的符号，若AC-B 2大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A 大于零是极小值；若AC-B 2小于零则无极值；若AC-B 2等于零则无法判断 10、二重积分的性质： （1）(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰（2）[(,)(,)](,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)若(,)(,)f x y g x y <，则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ<⎰⎰⎰⎰（5）Dd s σ=⎰⎰，其中s 为积分区域D 的面积（6）(,)m f x y M <<，则(,)Dms f x y d Ms σ<<⎰⎰（7）积分中值定理：(,)(,)Df x y d sf σεη=⎰⎰，其中(,)εη是区域D 中的点11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y ，后对x 的积分或先对x ，后对y 的积分形式）2211()()()()(,)(,)(,)P x P y bdDaP x cP y f x y d dx f x y dy dyf x y dx σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f （x,y ）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为{x (t)y (t)ϕφ==，(t )αβ<<，则Lf(x,y)ds f[(t),βαϕφ=⎰⎰（2）格林公式：DLLQ P()dxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰⎰14、向量的加法与数乘运算：111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则有111(,,)ka kx ky kz =，121212(,,)a b x x y y z z λμλμλμλμ+=+++，若a b ，则111222x y z x y z == 15、向量的模、数量积、向量积：若111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则向量a 的模长2a x =+；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）a b ＝121212b a x x y y z z =++＝cos ,b a a b a b =<>，其中,a b <>表示向量,b a 的夹角，且若a b ⊥，则有a b ＝0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）1111221*********22()()()ij ka b x y z y z y z i x z x z j x y x y k x y z ⨯==-+-+-，其中,,i j k 是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量16、常数项无穷级数1231......n n n u u u u u ∞=∑=+++++，令123...n n s u u u u =++++称为无穷级数的部分和，若lim n x s s →∞=，则称改级数收敛，否则称其为发散的。

其中关于无穷级数的一个必要非充分地定理是：若1n n u ∞=∑收敛，则必有lim 0n x u →∞=17、三种特殊的无穷级数： （1）调和级数11n n∞=∑是发散的，无须证明就可以直接引用 （2）几何级数1n n aq ∞=∑，当1q <时收敛，当1q >时发散（3）p 级数11pn n∞=∑，当1p >时收敛，当1p ≤时发散 18、正项级数1n n u ∞=∑的判敛方法：（1）比较判敛法：若存在两个正项级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑，且有n n v u ≤，若n u 收敛，则n v 收敛；若n v 发散，则n u 发散（2）比较判敛法的极限形式：若lim,(0)nx nu l l v →∞=>，则n u 和n v 具有相同的敛散性（3）比值判敛法：对于1n n u ∞=∑， 1limn x nu l u +→∞=，若1l <，则原级数收敛，若1l >，则原级数发散19、交错级数11(1)n n n u ∞-=∑-的判敛方法：同时满足1n n u u +>及lim 0n x u →∞=，则级数收敛，否则原级数发散20、绝对收敛和条件收敛：对于1n n u ∞=∑，若1n n u ∞=∑收敛，则称其绝对收敛；若1n n u ∞=∑发散，但是1n n u ∞=∑收敛，则称其条件收敛21、函数项无穷级数形如：1231()()()()...()...n n n u x u x u x u x u x ∞=∑=+++++，通常讨论的是幂级数形如：2301230......n n n n n a x a a x a x a x a x ∞=∑=++++++，（1）收敛半径及收敛区间：1lim,n x na a ρ+→∞=则收敛半径1R ρ=，收敛区间则为(,)R R -，但是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证（2）几种常见函数的幂级数展开式：0!n xn x e n ∞==∑，sin x =(21)n-11-1(21)!n n x n -∞=∑-（），20cos (1)(2)!n nn x x n ∞==∑-，011nn x x ∞==∑-，01(1)1n n n x x ∞==∑-+22、常微分方程的类型及解题方法：（1）可分离变量的微分方程：(,)y f x y '=，总是可以分离变量化简为()()dy dxf y f x =的形式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解（2）齐次方程：(,)y f x y '=，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为()y f x的形式，令yu x=，则原方程化简为可分离变量方程形式()u xu f u '+=来求解 （3）一阶线性微分方程：形如()()y p x y f x '+=的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程()0y p x y '+=的解y =()cQ x ，然后使用常熟变易法，令()c u x =，把原方程的解()()y u x Q x =带入原方程，求出()u x ，再带入()()y u x Q x =中，即求出所需的解（4）全微分方程：形如(,)(,)0p x y dx Q x y dy +=的方程，只要满足(,)(,)p x y Q x y y x∂∂=∂∂，则称其为全微分方程，其解为0(,)(,)xyu p x y dx Q x y dy =+⎰⎰（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：第一种：()y f x ''=的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解第二种：(,)y f x y '''=的形式，首先令y z '=，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程(,)z f x z '=的形式，继续求解即可第三种：(,)y f y y '''=的形式，同样令y z '=，由于dz dz dy dz y z y dx dy dx dy''''====，所以原方程转化为一阶微分方程(,)dzz f y z dy=的形式，继续求解即可 （6）二阶常系数齐次微分方程：0y py qy '''++=，求解时首先求出该方程对应的特征方程20r pr q ++=的解1,2r r ，若实根12r r ≠，则解为1212r xr xy c e c e =+；若实根12r r =，则解为112()r xy c c x e =+；若为虚根a bi ±，则解为12(cos sin )axy e c bx c bx =+（8）二阶常系数非齐次微分方程：()rxm y py qy P x e '''++=，求解时先按（7）的方法求其对应的齐次微分方程的通解1y ，然后设出原方程的特解y *＝kx ()rx m Q x e ，其中()m Q x 是和()m P x 同次的多项式，含有相应的未知系数，而k 根据特征方程的解1,2r r 与r 的关系取值，若r 与特征根不相等，则k 取0；若r 和一个特征根相等，则k 取1；若r 和特征根都相等，则k 取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即1y y y =+*。