《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。

相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。

今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。

试求g 及其最大相对误差。

如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。

由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。

所以该电压表的引用误差为：22%100m m m U r U === 由于： 2%<2.5% 所以该电压表合格。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。

附加1－1 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：21802000180''=-'''o o 222''''''第二章 误差的基本性质与处理2-2. 试述单次测量的标准差σ和算术平均值的标准差xσ-，两者物理意义和实际用途有何不同？ 【解】单次测量的标准差σ表征同一被测量n 次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。

2n δσ++=算术平均值的标准差xσ-是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准xσ-=在n量次数n 愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。

2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在,⎡⎤⎣⎦中的概率。

【解】（1）误差服从正态分布时2222(2)(2)()P ed ed δδσσδδ--==引入新变量t:,tt δσδσ==,经变换上式成为：22()2()20.41950.8484%t tP edt t -==Φ=⨯==⎰（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：σ=，所以区间[],,a a ⎡⎤=-⎣⎦,故:1()1aaPδπ+-==⎰（3）误差服从均匀分布时因其标准差为：σ=,⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故111()20.8282%22P da aδπ==⨯==⎰2-4. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】①选参考值0236.00x=，计算差值236.00i ix x∆=-、x∆和残差iv∆等列于表中。

或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：811236.43()8iix x g===∑②计算标准差：用贝塞尔公式计算：0.06()gσ===0.02xσ-===2－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

解：)(49.168551mA II i i==∑=0.08σ==0.04xσ-===20.080.053ρ≈=⨯= 0.67450.02x R σ-==40.080.065θ≈=⨯= 0.79790.03x T σ-==2—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。

解：①求算术平均值②求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：42.5510mm σ-===⨯用别捷尔斯公式计算：4' 2.2410nivmm σ-===⨯∑ ③求算术平均值的标准差441.1410x mm σ--==⨯4'xσ-==0.0001④求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差做法1 ：因n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。

现自由度为：ν＝n－1＝4；α＝1－0.99＝0.01，查 t 分布表有：tα＝4.60单次测量的极限误差：433lim4.60 2.5510 1.17310 1.1710x t mmαδσ---=±=±⨯⨯=⨯≈⨯算术平均值的极限误差：44lim4.60 1.14105.2410xx t mmαδσ--=±=±⨯⨯=⨯⑥写出最后测量结果做法2 ：因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查正态分布积分表，得置信系数 2.6t=单次测量的极限误差：44lim2.60 2.5510 6.63100.00066x tαδσ--=±=±⨯⨯=⨯≈算术平均值的极限误差：44lim2.60 1.1410 2.964100.0003xx tαδσ--=±=±⨯⨯=⨯≈⑥写出最后测量结果()lim20.00150.0003L x x mmδ=+=±2－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有0015.0≤±=±nttxσσ根据题目给定得已知条件，有5.1001.00015.0=≤nt查教材附录表3有若n ＝5，v ＝4，α＝0.05，有t ＝2.78，24.1236.278.2578.2===n t 若n ＝4，v ＝3，α＝0.05，有t ＝3.18，59.1218.3418.3===nt 即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5μm 。

①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm ，试写出测量结果。

②若重复测量10次，测得值（单位为mm ）为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。

③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。

解：① 单次测量的极限误差以3σ计算:lim 330.5 1.5()0.0015()x m mm δσμ=±=±⨯=±=±所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015 (mm) ② 重复测量10次，计算其算术平均值为：10126.2025()ii x xmm ===∑取与①相同的置信度，算术平均值的标准差:x σ==⨯-41.5810mm lim 33 4.745x x δσ=±=±⨯⨯=⨯≈⨯-4-4-41.58101010mm则测量结果为：326.20250.0005xx σ±=± (mm)③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。

选参考值026.202x =，计算差值26.202i i x x ∆=-、0x ∆和残差i v 等列于表中。

用贝塞尔公式计算：42.210mm σ-===⨯算术平均值的标准差：4x mm σ-==0.00007 取与①相同的置信度，则测量结果为：3i x σ±此时①的测量结果为26.202530.0002226.20250.0006626.20250.0007±⨯=±≈±(mm)；②的测量结果为26.202530.0000726.20250.0002126.20250.0002±⨯=±≈± (mm).2-13 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”，σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。

【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。