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】专题26 分而治之——分类讨论阅读与思考在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．例题与求解【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．【例4】如图，已知△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A ，C 不重合），Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形P ABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长． （福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使△PQM 为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ 为直角边，二是以PQ 为斜边．【例5】证明：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．【例6】设a 和b 是相异实数，证明：存在整数m 和n ，使得0>+bn am ，0<+an bm ． （加拿大中学生竞赛试题）解题思路：a ，b 为相异实数，则必有a －b >0或a －b <0两种情况．能力训练1．已知a +b =－8，ab =8，化简b abaa b= ． （内江市中考试题） 2．已知实数a ，b 满足以a 2－7a +2=0，a 2－7b +2=0，则b aa b+的值为 ． （淮阴市中考试题）3．在△ABC 中过A 作△ABC 的高，垂足为D ．若∠BAD =55°，∠CAD =25°，则∠BAC = ． 4．在平面直角坐标系内，已知点A (2，2)，B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l的距离是．6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB= ．（全国初中数学联赛试题）7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．当AB= 时，这两个直角三角形相似．AB E第7题图第10题图第11题图8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m 的取值范围是( )A．－32＜m＜－14B．m≤－32或m≥－14C．－14＜m＜21D．m≤－32或m≥21（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )A．3个B．6个C．7个D．9个（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有( ) （绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．其中答题完全正确的题目个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个（重庆市中考试题）13．在半径为5cm 的圆内有长为53 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3．如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个O B ADBCAD第14题图 第15题图15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2+(2m －1)x +m 2+3=0的根，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．5或－3 C ．5 D ．－5或3（吉林省中考试题） 16．已知：关于x 的函数()()4112322+++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范围．（十堰市中考试题）17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数xky =（x >0，k ≠0）的图象经过线段BC 的中点D ． (1) 求k 的值； (2) 若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形COPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．y xDOB CA18．已知△ABC 中，BC =6 cm ，CA =8 cm ，∠C =90°，动点P 从点C 出发，以每秒1 cm 的速度沿CA ，AB 运动到B 点．(1)设P 从C 开始运动的距离为x cm ，△BCP 的面积为y cm 2，把y 表示成x 的函数；(2)从C 出发几秒时，S △BCP =14S △ABC ? （荆州市中考试题）19．如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点O ，以直线O 1O 2为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切⊙O 1于点B ，切⊙O 2于点A ，交y 轴于点C (0，2)，交x 轴于点M ；BO 的延长线交⊙O 2于点D ，且OB ：OD =1：3．(1) 求⊙O 2的半径长； (2) 求直线AB 的解析式；(3) 在直线AB 上是否存在点P ，使△MO 2P 与△MOB 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（吉林省中考试题）yxCMAOO 1O 2BD20．已知抛物线l 1：y =ax 2－2amx +am 2+2m +1(a >0，m >0)的顶点为A ，抛物线l 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P (1，3)成中心对称．(1) 当a =1时，求l 2的解析式和m 的值；(2) 设l 2与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．（浙江省竞赛试题）21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．（全国初中数学联赛试题）22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：(1) 2a，2b都是整数；(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？（全国初中数学竞赛试题）23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、（浙江省竞赛试题）24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，=x, =│x│等。

4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。